26、标准模型下的高效可追踪签名方案解析

最新推荐文章于 2025-11-08 18:23:52 发布

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分类专栏：探索配对基础密码学的前沿进展文章标签：可追踪签名标准模型成员证书

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标准模型下的高效可追踪签名方案解析

1. 方案构建思路

在签名方案中，为了实现多种安全特性，需要精心设计各个环节。

成员证书生成 ：
- 群组管理员拥有公钥((Ω = g^ω, h_0, h_1, h_2))，使用(ω ∈ Z_p^*)生成成员证书。成员证书包含((K_1, K_2, K_3, K_4, y))五个元素。
- (K_1 = (h_0 · h_1^x · h_2^y)^{1/(ω + s_{ID})})，其中(s_{ID})由管理员选择用于标识用户(U)，(x)是用户的成员秘密。
- (K_2 = g^{1/(ω + s_{ID})})，(K_3 = g^{s_{ID}})，(K_4 = u_0^{s_{ID}})，(y)是管理员为用户设置的追踪陷门的一部分。
可追踪性设计 ：
- 每个签名必须包含“可追踪性值”，通过线性元组((T_1, T_2, T_3) = (g^{xδ_1}, g^{yδ_2}, g^{δ_1 + δ_2}))实现。
- 利用追踪陷门((X = g^x, y))，通过检查(e(T_1, g) = e(X, T_3/T_2^{1/y}))来判断签名是否来自用户(U)。
- 为防止用户篡改证书以逃避追踪，签名中需包含(h_1^x · h_2^y)和(h_3^x · h_4^y)的承诺。
不可诬陷性设计 ：
- 签名者生成签名对((θ_1, θ_2) = (u_0^{s_{ID}} · u_1^{xδ_1} · G(m)^{r_s}, g^{r_s}))，其中(G(m))是合适的哈希函数。
- 离散对数(\log_g(u_1))必须对群组管理员保密，以防止管理员诬陷诚实用户。
不可抵赖性设计 ：
- 用户在公钥基础设施（PKI）中注册公钥(u_{pk})，使用私钥(u_{sk})对成员证书的部分((X, K_1, K_2, K_3, y))进行签名。

2. 算法详细描述

以下是方案中各个算法的详细步骤：

系统初始化（Setup） ：
1. 选择安全参数(λ)和(n ∈ poly(λ))，选取阶为(p > 2^λ)的双线性群((G, G_T))，随机选择(g, h_0, h_2, h_3, h_4, u_0, u_1 ∈ G)。
2. 选择(γ_1, ω ∈ Z_p^*)，设置(h_1 = g^{γ_1})，(Ω = g^ω)。
3. 选择向量(v = (v_0, v_1, …, v_n) ∈ G^{n + 1})。
4. 选择向量(\vec{g} = (\vec{g}_1, \vec{g}_2, \vec{g}_3))，其中(\vec{g}_1 = (g_1, 1, g) ∈ G^3)，(\vec{g}_2 = (1, g_2, g) ∈ G^3)，(\vec{g}_3 = \vec{g}_1^{ξ_1} ⊙ \vec{g}_2^{ξ_2})，(g_1 = g^{α_1})，(g_2 = g^{α_2})，(α_1, α_2 ∈ Z_p^*)，(ξ_1, ξ_2 ∈ Z_p)。
5. 选择(\vec{f} = (\vec{f}, \vec{f}_1, \vec{f}_2))，使(\vec{f}, \vec{f}_1, \vec{f}_2)线性无关。
6. 指定一个抗碰撞哈希函数(H : {0, 1}^* → {0, 1}^n)。
7. 群组公钥(Y := {g, h_0, h_1 = g^{γ_1}, h_2, h_3, h_4, Ω = g^ω, u_0, u_1, v, \vec{g}, \vec{f}, H})，私钥(S := {γ_1, ω, α_1, α_2})给群组管理员。
成员加入（Join） ：
1. 用户(U_i)和管理员执行交互协议，联合生成(X = g^x)，(x)随机分布且只有用户知道，管理员知道(X)。
2. 管理员计算(h_1^x = X^{γ_1})，并计算(K_1 = (h_0 · h_1^x · h_2^y)^{1/(ω + s_{ID})})，(K_2 = g^{1/(ω + s_{ID})})，(K_3 = g^{s_{ID}})，(K_4 = u_0^{s_{ID}})，将(K_1, K_2, K_3, y)发送给用户。
3. 用户检查(e(K_1, Ω · K_3) = e(h_0, g) · e(h_1, X) · e(h_2, g)^y)和(e(K_2, Ω · K_3) = e(g, g))，若满足则生成签名(sig_i = Sign_{u_{sk}[i]}(X||K_1||K_2||K_3||g^y))并发送给管理员。
4. 管理员验证签名，若通过则发送(K_4)给用户，用户检查(e(K_3, u_0) = e(g, K_4))，若满足则设置成员证书(cert_i := (K_1, K_2, K_3, K_4, y))和成员秘密(sec_i := x)。
签名生成（Sign） ：
1. 用户(U_i)解析证书(cert_i)和秘密(sec_i)，随机选择(δ_1, δ_2 ∈ Z_p^*)，计算追踪值(T_1 = g^{xδ_1})，(T_2 = g^{yδ_2})，(T_3 = g^{δ_1 + δ_2})。
2. 计算(G(m) = v_0 · \prod_{j = 1}^{n} v_j^{m_j})，其中(m = m_1 … m_n = H(M||T_1||T_2||T_3))。
3. 随机选择(r_s ∈ Z_p^*)，计算(θ_1 = K_1 = (h_0 · h_1^x · h_2^y)^{1/(ω + s_{ID})})，(θ_2 = K_2 = g^{1/(ω + s_{ID})})，(θ_3 = K_3 = g^{s_{ID}})，(θ_4 = K_4 · u_1^{xδ_1} · G(m)^{r_s})，(θ_5 = g^{r_s})，(θ_6 = h_1^x · h_2^y)，(θ_7 = h_3^x · h_4^y)，(θ_8 = g^x)，(θ_9 = g^y)。
4. 对变量(θ_i)（(i = 1, …, 9)）和(δ_1, δ_2)进行承诺。
5. 给出证明，证明承诺的变量满足相应关系，签名最终为(σ = (T_1, T_2, T_3, \vec{σ} 1, …, \vec{σ} {11}, π_1, …, π_8))。
签名验证（Verify） ：
1. 解析签名(σ)，计算(G(m))。
2. 验证(π_1, …, π_8)，检查一系列等式是否满足，若都满足则返回(1)，否则返回(0)。
签名打开（Open） ：
1. 解析签名(σ)和私钥(S)。
2. 计算(θ_i)（(i = 3, 8, 9)），检查数据库中是否存在记录((X, K_1, K_2, K_3, K_4, y, sig_i))使得(θ_3 = K_3)，(θ_8 = X)，(θ_9 = g^y)，若存在则返回签名者索引(i)，否则返回(⊥)。
追踪陷门揭示（Reveal） ：
扫描数据库找到用户(U_i)的记录((X, K_1, K_2, K_3, K_4, y, sig_i))，输出追踪陷门(trace_i := (X, y))。
签名追踪（Trace） ：
解析签名(σ)和追踪陷门(trace_i)，若(e(T_3/T_2^{1/y}, X) = e(g, T_1))则返回(1)，否则返回(0)。
签名声明（Claim） ：
给定签名(σ)、秘密(sec_i = x)和证书部分(y)，使用参考字符串(\vec{f})证明知道(x, y)使得(T_3 = T_1^{1/x} · T_2^{1/y})，生成承诺(\vec{C}_1 = \vec{f}^{1/x} ⊙ \vec{f}_1^{r_1} ⊙ \vec{f}_2^{s_1})，(\vec{C}_2 = \vec{f}^{1/y} ⊙ \vec{f}_1^{r_2} ⊙ \vec{f}_2^{s_2})和证明(τ_1 = T_1^{r_1} · T_2^{r_2})，(τ_2 = T_1^{s_1} · T_2^{s_2})，声明为(τ := (\vec{C}_1, \vec{C}_2, τ_1, τ_2))。
声明验证（Claim - Verify） ：
验证声明(τ)，若(E(T_1, \vec{C}_1) ⊙ E(T_2, \vec{C}_2) = E(T_3, \vec{f}) ⊙ E(τ_1, \vec{f}_1) ⊙ E(τ_2, \vec{f}_2))则返回(1)，否则返回(0)。

3. 算法流程总结

以下是方案的主要流程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[系统初始化] --> B[成员加入];
    B --> C[签名生成];
    C --> D[签名验证];
    D --> E{验证通过?};
    E -- 是 --> F[签名打开];
    E -- 否 --> G[签名无效];
    F --> H[追踪陷门揭示];
    H --> I[签名追踪];
    C --> J[签名声明];
    J --> K[声明验证];

4. 安全性与效率分析

安全性 ：在标准模型下，该方案在 HSDH、mTDH 和 DLIN 假设成立的情况下，满足误识别安全性、不可诬陷性和匿名性。
效率：每个签名由 83 个群元素组成，使用 256 位素数阶群的对称配对配置，签名大小为 2.593 kB。签名需要几十次指数运算，验证通过概率批处理验证技术可显著提高效率。

通过以上设计和分析，该签名方案在保证安全性的同时，实现了较好的效率。在实际应用中，可根据具体需求进行调整和优化。

5. 注意事项

签名打开算法 ：虽然理论上只解密(\vec{σ}_3)可能就足够，但同时解密(\vec{σ}_8)和(\vec{σ}_9)可简化针对误识别攻击和诬陷攻击的安全性证明。
签名声明系统 ：该系统不能防止窃听者复制声明，模型假设声明消息在接收者可信或在公共板上进行声明，若担心接收者滥用，签名者可使用不可转移的交互式零知识证明。

综上所述，此高效可追踪签名方案在多个方面进行了精心设计，以满足不同的安全需求和效率要求。在实际使用中，需根据具体场景合理运用，并注意相关的安全和效率问题。

标准模型下的高效可追踪签名方案解析

6. 技术细节深入剖析

在上述方案中，涉及到多个关键技术细节，下面对其进行深入剖析。

6.1 配对运算与证明

方案中使用了多种配对运算和证明来保证签名的安全性和可追踪性。例如，在签名生成和验证过程中，需要验证一系列的配对等式，如：
- (e(θ_1, Ω · θ_3) = e(h_0, g) · e(θ_6, g))
- (e(θ_2, Ω · θ_3) = e(g, g))
- (e(θ_4, g) = e(u_0, θ_3) · e(u_1, T_1) · e(G(m), θ_5))
- (e(θ_6, g) = e(h_1, θ_8) · e(h_2, θ_9))
- (e(θ_7, g) = e(h_3, θ_8) · e(h_4, θ_9))

这些等式的验证确保了签名的合法性和完整性。不同类型的关系需要不同的证明，具体如下表所示：
| 关系类型 | 证明组成 | 证明数量 |
| ---- | ---- | ---- |
| 二次配对 - 乘积方程（关系 1 - 2） | 9 个群元素 | 2 组（(π_1)，(π_2)） |
| 多指数方程（关系 6 前两个） | 3 个 (G^3) 向量 | 2 组（(π_6)，(π_7)） |
| 线性多指数方程（关系 6 第三个） | 2 个群元素 | 1 组（(π_8)） |
| 线性配对 - 乘积方程（关系 3 - 5） | 3 个群元素 | 3 组（(π_3)，(π_4)，(π_5)） |

6.2 追踪机制

追踪机制是该方案的核心特性之一。签名中包含的追踪值((T_1, T_2, T_3))使得可以通过追踪陷门((X, y))来判断签名是否来自特定用户。具体判断条件为(e(T_3/T_2^{1/y}, X) = e(g, T_1))。这种设计利用了多指数方程，使得在匿名性证明中可以简单地模拟底层值(δ_1)和(δ_2)的知识，最终依赖于决策线性假设。

7. 方案优势与潜在挑战

7.1 方案优势

安全性高 ：通过多种安全机制的结合，如成员证书的生成、追踪值的设置、不可抵赖性的设计等，在标准模型下满足多种安全特性，包括误识别安全性、不可诬陷性和匿名性。
效率较好 ：签名大小相对较小，每个签名由 83 个群元素组成，使用 256 位素数阶群的对称配对配置，签名大小为 2.593 kB。并且通过概率批处理验证技术，验证效率可显著提高。
可追踪性强 ：签名中包含的追踪值和追踪陷门使得可以有效地追踪签名的来源，防止恶意用户的行为。

7.2 潜在挑战

密钥管理 ：群组管理员需要管理私钥(S := {γ_1, ω, α_1, α_2})，如果私钥泄露，可能会导致整个系统的安全性受到威胁。
签名声明系统的局限性 ：签名声明系统不能防止窃听者复制声明，需要依赖特定的传输环境或使用不可转移的交互式零知识证明来解决。

8. 实际应用场景

该签名方案在多个领域有潜在的应用价值，以下是一些具体的应用场景：
- 电子政务 ：在政府的电子文件签署和审批过程中，需要保证文件的真实性、不可抵赖性和可追踪性。该方案可以满足这些需求，确保政府业务的安全进行。
- 金融交易 ：在金融机构的交易签名中，防止误识别和诬陷攻击至关重要。该方案的安全性和可追踪性可以为金融交易提供可靠的保障。
- 物联网 ：在物联网设备的通信和数据交互中，需要对设备的身份和行为进行验证和追踪。该方案可以应用于物联网设备的签名认证，提高物联网系统的安全性。