notch 滤波器设计

notch 滤波器是一种用于去除特定频率成分的滤波器，通常用于消除信号中的特定频率的干扰或噪声。也可以与一个系统级联，用于抑制系统谐振峰的影响。

假设 notch 滤波器的下陷频率为 ${\omega }_c$，下陷程度为 $d{B}_{down}$，则 ${\omega }_c$ 处的增益为 $10^{-\frac{d{B}_{down}}{20}}$。
则 notch 滤波器设计为：
$$H(s)=\frac{s^2+{\omega }_c\cdot s+{\omega }_c^2}{s^2+10^{\frac{d{B}_{down}}{20}}\cdot {\omega }_c\cdot s+{\omega }_c^2}$$

假设要设计一个在 200Hz 处下陷 20dB 的notch滤波器。如下所示：
代码很简单

omega_c = 200*2*pi;
dB_down = 20;
amp_down = 10^(dB_down/20);
notch_filter = tf([1, omega_c, omega_c^2],[1, amp_down*omega_c, omega_c^2]);
figure;bode(notch_filter,".-");grid on

效果如图

如果想再调节下陷的广度，再引入一个参数 $a$，形式如下：
$$H(s)=\frac{a\cdot s^2+{\omega }_c\cdot s+a\cdot {\omega }_c^2}{a\cdot s^2+10^{\frac{d{B}_{down}}{20}}\cdot {\omega }_c\cdot s+a\cdot {\omega }_c^2}$$
$a$ 可以控制下陷的宽度，$a$ 越大，凹陷越窄，如 $a=10$ 时：
代码和结果如下：

omega_c = 200*2*pi;
dB_down = 20;
amp_down = 10^(dB_down/20);
a = 10;
notch_filter = tf([a, omega_c, a*omega_c^2],[a, amp_down*omega_c, a*omega_c^2]);
figure;bode(notch_filter,".-");grid on

有这两个参数就可以设计出任何形状的 notch 滤波器。

手推的公式，用了请点个赞。