Python 实现图像快速傅里叶变换和离散余弦变换

图像的正交变换在数字图像的处理与分析中起着很重要的作用，被广泛应用于图像增强、去噪、压缩编码等众多领域。本文手工实现了二维离散傅里叶变换和二维离散余弦变换算法，并在多个图像样本上进行测试，以探究二者的变换效果。

1. 傅里叶变换

实验原理

对一幅图像进行离散傅里叶变换（DFT），可以得到图像信号的傅里叶频谱。二维 DFT 的变换及逆变换公式如下：

DFT 尽管解决了频域离散化的问题，但运算量太大。从公式中可以看到，有两个嵌套的求和符号，显然直接计算的复杂度为 $O(n^2)$ 。为了加快傅里叶变换的运算速度，后人提出快速傅里叶变换（FFT），即蝶形算法，将计算 DFT 的复杂度降低到了 $O(n\log n)$。

FFT 利用傅里叶变换的数学性质，采用分治的思想，将一个 $N$ 点的 FFT，变成两个 $N/2$ 点的 FFT。以一维 FFT 为例，可以表示如下：

其中，$G(k)$ 是 $x(k)$ 的偶数点的 $N/2$ 点的 FFT，$H(k)$ 是 $x(k)$ 的奇数点的 $N/2$ 点的 FFT。

这样，通过将原问题不断分解为两个一半规模的子问题，然后计算相应的蝶形运算单元，最终得以完成整个 FFT。

算法步骤

本次实验中，一维 FFT 采用递归实现，且仅支持长度为 2 的整数幂的情况。

算法步骤如下：

1. 检查图像的尺寸，如果不是 2 的整数幂则直接退出。
2. 对图像的灰度值进行归一化。
3. 对图像的每一行执行一维 FFT，并保存为中间结果。
4. 对上一步结果中的每一列执行一维 FFT，返回变换结果。
5. 将零频分量移到频谱中心，并求绝对值进行可视化。
6. 对中心化后的结果进行对数变换，以改善视觉效果。