堆——实现及应用

概念

• 完全二叉树：若设二叉树的深度为 h，除第 h 层外，其它各层（1～h-1）的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边。
• 用数组表示（下标从 1 开始），则有：
  • arr[i] 的左孩子是 arr[2*i]，右孩子是 arr[2*i+1]；
  • arr[i] 的父节点是 arr[i/2]。
• 大顶堆：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值。
• 小顶堆：每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值。

操作

注：本节以小顶堆为例，记堆的大小为 n。

首先定义一个堆。

class Heap {
   
   
private:
    int arr[maxn];
    int n;
    
    void shift_up(int i);
    void shift_down(int i);

public:
    Heap() {
   
   
        memset(arr, 0, sizeof(int) * maxn);
        n = 0;
    }

    void push(int x);
    void pop();
    int top();
    int size();
    bool empty();
};

上浮

从当前结点开始，和它的父节点比较：

• 若比父节点小则交换，然后将当前节点下标更新为原父节点下标；
• 否则退出。

void shift_up(int i) {
   
   
    while (i > 1 && arr[i] < arr[i>>1]) {
   
   
        swap(arr[i], arr