[CSP-J2020] 方格取数

题目

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+5;
int n,m,
	d[N][N];//方格数 
long long int fa[N][N],//从左和从上过来，找最大 
	fb[N][N],//从左过来和从下过来，找最大 
	f[N][N];//最大和 
	
int main(){
	//freopen("data.cpp","r",stdin);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)cin>>d[i][j];//每个格子的数值，可能是负值 
	for(int i=0;i<=n+1;i++)
	for(int j=0;j<=m+1;j++)fa[i][j]=fb[i][j]=f[i][j]=LLONG_MIN;//要找最大，所以不能初始为0 
	f[1][1]=d[1][1];//从左上出发 
	for(int i=2;i<=n;i++)f[i][1]=f[i-1][1]+d[i][1];//不能往左，第一列只能往下 
	for(int j=2;j<=m;j++){//解决剩余列 
		for(int i=1;i<=n;i++)fa[i][j]=max(fa[i-1][j],f[i][j-1])+d[i][j];//每列往右往下的最大 
		for(int i=n;i>=1;i--)fb[i][j]=max(fb[i+1][j],f[i][j-1])+d[i][j];//每列往右往上的最大 
		for(int i=1;i<=n;i++)f[i][j]=max(fa[i][j],fb[i][j]);//留下更大的 
	}
	cout<<f[n][m];
	return 0;
}

分析

• 从左上出发往右下，可右、可上、可下，单元格数值可能是负，求最大路径和。
• 通过定义状态数组，记录到达每个格子的最大路径和，利用子问题的最优解推导出全局最优解。
• 状态f[i][j]每个格子的最大路径和，辅助数组fa[i][j]每个格子从左和从上过来的最大路径和，辅助数组fb[i][j]每个格子从左和从下过来的最大路径和。
• 状态转移
• 初始状态，f[1][1]=d[i][j]出发格子，其他都是从该格子推算。所以第一列直接求出。每个格子都可能是负数，所以找最大值不能跟0比较，要跟最小比LLONG_MIN.
• 时间复杂度，共m列，每列三次n循环，所以是O(N*M)=10⁶ <10⁸