Kth number———主席树模板

最新推荐文章于 2020-07-23 18:28:00 发布

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本文详细解析了权值线段树与主席树的原理及应用，重点介绍了如何利用这两种数据结构解决区间查询问题，特别是求解区间内的第k大（或第k小）数。通过具体实例讲解了构建和查询过程，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门HDU2665

描述

Give you a sequence and ask you the kth big number of a inteval.

输入

The first line is the number of the test cases.
For each test case, the first line contain two integer n and m (n, m <= 100000), indicates the number of integers in the sequence and the number of the quaere.
The second line contains n integers, describe the sequence.
Each of following m lines contains three integers s, t, k.
[s, t] indicates the interval and k indicates the kth big number in interval [s, t]

输出

For each test case, output m lines. Each line contains the kth big number.

样例

Input
1
10 1
1 4 2 3 5 6 7 8 9 0
1 3 2

Output
2

题解

题意：n个数q次询问，每次给一个区间[l,r]和一个数k，求区间中第k大的数。（其实是第k小来着，不知道是出题人的锅还是阅读理解有问题…）
权值线段树：节点num[i]维护i出现次数的线段树，主席树就是可持续化权值线段树，用于求区间第k小的数。
在建树时，每插入一个数就新建一颗线段树，用i时刻表示a[i]插入线段树的时刻，节点维护数组中每个元素在每个时刻出现的次数，用root[i]则表示i时刻所建的线段树的顶点。通过线段树的性质不难发现，插入一个数时只会经过log(n)个点，我们只需要新建这log(n)个点即可，其他的可以直接使用上时刻状态的节点。
要查询区间a[2]~a[5]时，我们首先把第1颗树和第5颗树拿出来，把树种对应位置的节点相减，就可以得到a[2]~a[5]内节点所包含范围内的数的个数（前缀和思想）。如两个代表区间[1,4]的节点相减等于2，就说明在a[2]~a[5]内有2个数在1到4之间。
对于一个区间[l,r]，我们每次算出在[l,mid]范围内的数x，如果x>=k，说明第k大的数在左边，如果x < k，说明第k大在右边，就在右边找第k-x大的数（因为左边已经有x个数了）
为了节省空间，将数组元素离散化，每次插入这个数在数组排序并去重后的位次。
若排序去重后数组长度为m的话，那么线段树的空间需要mlg(m)，每次查询的时间复杂度为lg(m)，建树的时间复杂度为nlg(m);
很好的一篇博客

Code

#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
#define INIT(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define repd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define S(d) scanf("%d",&d)
#define SLL(d) scanf("%lld",&d)
#define P(d) printf("%d\n",d)
#define PLL(d) printf("%lld\n",d)
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e5+7;
const int M=2e6+7;
const int mod=1e9+7;
int a[N],b[N],L[N*20],R[N*20],num[N*20],root[N];
int tot=0;
int build(int l,int r){
    int now=++tot;
    if(l<r){
        int mid=l+r>>1;
        L[now]=build(l,mid);
        R[now]=build(mid+1,r);
    }
    return now;
}
int update(int pre,int l,int r,int x){
    int now=++tot;
    L[now]=L[pre],R[now]=R[pre],num[now]=num[pre]+1;//先将左右节点都连在上一棵树上
    int mid=l+r>>1;
    if(l<r){
        //新建左节点或新建右节点
        if(x<=mid) L[now]=update(L[pre],l,mid,x);
        else R[now]=update(R[pre],mid+1,r,x);
    }
    return now;
}
int query(int u,int v,int l,int r,int k){
    //左边数的个数x>=k，说明第k位在左边，否则在右边找第k-x位
    if(l==r) return l;
    int x=num[L[v]]-num[L[u]];
    int mid=l+r>>1;
    if(x>=k) return query(L[u],L[v],l,mid,k);
    else return query(R[u],R[v],mid+1,r,k-x);
}
int main(){
    int ca;S(ca);
    int n,q,s,t,k,tem;
    while(ca--){
        tot=0;
        S(n),S(q);
        rep(i,1,n) {
            S(a[i]);
            b[i]=a[i];
        }
        sort(b+1,b+1+n);
        int m=unique(b+1,b+1+n)-b-1;//去重
        root[0]=build(1,m);//建空树
        rep(i,1,n){
            tem=lower_bound(b+1,b+m+1,a[i])-b;
            root[i]=update(root[i-1],1,m,tem);
            //离散化，用位次表示数字并插入主席树
        }
        while(q--){
            S(s),S(t),S(k);
            tem=query(root[s-1],root[t],1,m,k);
            P(b[tem]);
        }
    }
	return 0;
}