HDU 1561 The more,The Better (树形DP+有依赖的背包问题)

最新推荐文章于 2020-03-07 18:24:29 发布

原创最新推荐文章于 2020-03-07 18:24:29 发布 · 381 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文探讨了一种战略游戏中如何通过攻克城堡获取最多宝物的问题。利用分组背包与依赖背包的概念，结合树形DP算法解决链式依赖关系，实现ACboy在限制条件下获得最大收益。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

The more, The Better

Time Limit: 6000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Total Submission(s): 3588 Accepted Submission(s): 2108

Problem Description ACboy很喜欢玩一种战略游戏，在一个地图上，有N座城堡，每座城堡都有一定的宝物，在每次游戏中ACboy允许攻克M个城堡并获得里面的宝物。但由于地理位置原因，有些城堡不能直接攻克，要攻克这些城堡必须先攻克其他某一个特定的城堡。你能帮ACboy算出要获得尽量多的宝物应该攻克哪M个城堡吗？

Input

每个测试实例首先包括2个整数，N,M.(1 <= M <= N <= 200);在接下来的N行里，每行包括2个整数，a,b. 在第 i 行，a 代表要攻克第 i 个城堡必须先攻克第 a 个城堡，如果 a = 0 则代表可以直接攻克第 i 个城堡。b 代表第 i 个城堡的宝物数量, b >= 0。当N = 0, M = 0输入结束。

Output

对于每个测试实例，输出一个整数，代表ACboy攻克M个城堡所获得的最多宝物的数量。

Sample Input

3 2

0 1

0 2

0 3

7 4

2 2

0 1

0 4

2 1

7 1

7 6

2 2

0 0

Sample Output

思路：参考《背包九讲》

分组背包：将物品分成k组，每组中有若干件物品，并且这些物品两两互斥（既对于第 i 组物品，只能选该组物品的其中一个，或者一个也不选），求在一定的背包容量下如何选得最大值。

依赖背包：对于要选物品b，必须在选择a的情况下才能选，这样的背包问题称为有依赖的背包。普通的有依赖的背包很容易转换成分组背包来做，假如要选c必须先选a，要选b也必须先选a，若a,b,c的价值分别为Va,Vb,Vc,容量分别为Ca,Cb,Cc,则可以将这三件物品构成一个分组，假设最大容量为V，对b,c在容量为（V-Ca）（因为a必选）的条件下进行01背包，得到在这样的容量下的最优解。其中最优解分别存在dp[0...V-Ca]+Va，把这些最优解当成新物品来用（这些新物品构成一个分组，因为这里已经包含了对b,c的所有选择情况了，不同的选择肯定是互斥的）。把所有依赖关系进行分组后，直接分组背包的做法。（所谓普通的分组背包，其实也就是若b依赖a，则b不能再被其他物品依赖，既不存在先选a才能选b，先选b才能选c这样的链式关系。）

然而，往往存在一般情况，也就是题目给出的就是链式关系。若把不依赖于任何物品的物品当作根节点，那么这样的链式关系可以构成一棵树，没被其他物品依赖的物品就是叶子。这就是基础的树形DP，若某节点的所有孩子都是叶子，那么这个节点跟它的孩子可以构成一个分组。

View Code

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #define SIZE 205
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 struct node
10 {
11     int to,next;
12 };
13 
14 node edge[SIZE*SIZE];
15 int head[SIZE],idx;
16 int dp[SIZE][SIZE]; //dp[x][y]表示以x为根节点，选择了j件物品
17 int val[SIZE];
18 int N,M;
19 
20 void init()
21 {
22     idx = 0;
23     memset(head,-1,sizeof(head));
24     memset(dp,0,sizeof(dp));
25 }
26 
27 void addNode(int from,int to)  //邻接表存储连接关系
28 {
29     edge[idx].to = to;
30     edge[idx].next = head[from];
31     head[from] = idx ++;
32 }
33 
34 void dfs(int x)
35 {
36     dp[x][1] = val[x]; //以x为根节点，选1件物品，必然是选自己。
37     for(int i=head[x]; i!=-1; i=edge[i].next) 
38     {                       //说明有孩子，往下搜，直到搜到叶子为止
39         int to = edge[i].to;
40         dfs(to);
41         for(int j=M+1; j>=1; j--)  //背包容量为M+1，是因为多条链式关系，不能构成树，加入一个根节点0，其价值为0，所以有M+1的容量
42             for(int k=1; k<j; k++)  //k<j，就是相当于V-Ca<V，a是必选的，容量为1
43                 dp[x][j] = max(dp[x][j],dp[x][j-k]+dp[to][k]); //dp[to][k]是已经搜过的,是新物品
44     }
45 }
46 
47 int main()
48 {
49     while(~scanf("%d%d",&N,&M))
50     {
51         if(!N && !M) break;
52         init();
53         for(int i=1; i<=N; i++)
54         {
55             int a,b;
56             scanf("%d %d",&a, &b);
57             addNode(a,i);
58             val[i] = b;
59         }
60         val[0] = 0; //加入的根节点
61         dfs(0);
62         printf("%d\n",dp[0][M+1]);
63     }
64     return 0;
65 }