对KMP算法的认识和总结

对KMP算法的认识和总结

I.什么是KMP算法

KMP算法适用于模式串对文本的快速匹配，在暴力的匹配算法中，需要遍历文本串，设文本串的长度为n，模式串的长度为m，时间复杂度为O(n*m)，在大数据下显然不行的。KMP算法则可以在最坏情况O(n+m)下完成匹配。

II.KMP算法中的匹配过程

next[]数组是KMP算法的精髓，首先给出例子：ababacab，字符串的下标从0开始。此时的next[]为{-1,-1,0,1,2,-1,0,1}；（具体怎么来的可以先无视）即，next[i]=k，表示的是，如果第i+1个字符无法匹配，则模式串应回到k位置上进行匹配，即拿模式中的第k+1个字符和文本串中当前要匹配的字符进行匹配。

比如：

i:0 1 2 3 4 5

ab a b a a b a b a c a b --- String s

k:a b a b a c a b --- String p

01 2 3 4

当前匹配到k=4,i=5（表示前面的都匹配成功了），此时p[k+1]!= s[i]，即c!=a，按朴素的匹配算法的话，模式串p应该向右移动一格，即从p[0]和s[1]开始匹配起。而KMP算法则根据next[]对应的值去尽可能往右移动更多一点----因为根据next[]可以知道，之前的一些匹配是必然不成功的。那么刚才的例子的话，应该是这样移动的：

i: 0 1 2 3 4 5

ab a b a a b a b a c a b --- String s

k:- - a b a b a c a b --- String p

01 2

即拿p[3]与s[5]匹配。注意到next[4]=2，说明了，若4+1=5无法匹配，那么模式串p应该移动到自己的位置2中，即拿2+1=3与s[5]匹配。例子中p[3]仍然不等于s[5]，又next[2]=0，故下一步p回到了自己0的位置，即拿0+1=1与s[5]匹配。如下所示：

i: 0 1 2 3 4 5

ab a b a a b a b a c a b --- String s

k: - - - - a b a b a c a b --- String p

0

此时p[1]仍然不等于s[5]，这时next[0]=-1，已经无法移动了，那么将p整体向右移动一格。

i: 0 1 2 3 4 5

k: a b a b a a b a b a c a b --- String s

- - - - - a b a b a c a b --- String p

0

接下来，便匹配成功了。

III.next[]数组的求法以及匹配过程的代码实现

可以知道，next[0]= -1，因为0前面没有字符了。再考虑p[1]，如果p[1]= p[0]，显然next[1]= 0，因为当p[2]无法匹配时，说明p[0]和p[1]是已经完成匹配的了，即p[0]= s[i]，p[1]= s[i+1]，而p[0]= p[1]，显然可以拿p[0]去匹配s[i+1]。所以next[1]= 0，表示1+1=2匹配失败时，p串回到0，拿0+1=1与s[i+2]匹配。相反，若p[1]!= p[0]，则next[1]= -1。

所以，next[]数组的求法如下：

void getNext()
{
    next[0] = -1;
    int k = -1;
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        while(k>-1 && p[k+1]!=p[i])
            k = next[k];
        if(p[k+1] == p[i])
            ++k;
        next[i] = k;
    }
}

匹配过程的代码实现：

int KMP()
{
    int lens = (int)strlen(s);
    int lenp = (int)strlen(p);
    int k = -1,ret = 0;
    for(int i=0; i<lent; i++)
    {
        while(k > -1 && p[k+1] != s[i])
            k = next[k];
        if(p[k+1] == s[i])
            ++k;
        /*  ----------- 1
        if(k == lenp)
        {
            ret ++;
            k = next[k];
        }
        */
        /*  ----------- 2
        if(k == lenp)
            return true;
        */
    }
    //return ret;  --- 1
    //return false; --- 2
}

其中1代表的是求能匹配多少次，2代表能否匹配，根据题目要求而定。While循环表示的就是II中匹配的移动过程。

IV.next[]数组的进一步应用：循环节

比如，ababab是由三个ab组成的，ab就是循环节。

根据next[]的性质，设模式串为p，长度为len，则当(len%(len-next[len-1]-1)==0时，len-next[len-1]-1就是循环节的长度。举个例子，ababab，nex[]为{-1,-1,0,1,2,3}，len=6，next[len-1]=3，len-next[len-1]-1= 2。为什么呢？考虑next[n]= k，即如下所示：

s[0]s[1] s[2] ….. s[k] …...

x

…...s[m] s[m+1] …. …. s[n]

设某个位置x，使得n-k== k-x，由于s(0~k)==s(m~n)且n-k==k-x，所以s(0~k-x-1)==s(m,n-k-1)，即

s[0]s[1] s[2] …. s[k-x-1]....

…......s[m]s[m+1] …. s[n-k-1]

得到的子问题是一样的。所以可以得到循环节就是len-next[len-1]-1，因为模式串的下标是从0开始的，故有-1。

还可以根据next[]求出模式串中，既是前缀又是后缀的子串。其实就是从串的末尾len-1开始算起，不断求出next[]，next[]>-1的都是答案（需要+1，即next[]+1）。为什么呢？比如ababab，next[]为{-1,-1,0,1,2,3}，3+1=4是答案，因为next[5]之所以为3，是因为p[2],p[3],p[4]都在前缀中出现过，根据getNext()不难知道这个结论，因为只有p[i]=p[k+1]时，k才进行自增。