POJ 1061 拓展欧几里德算法

最新推荐文章于 2020-05-23 11:37:02 发布

原创最新推荐文章于 2020-05-23 11:37:02 发布 · 378 阅读

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本文探讨了两只青蛙在线上相约见面的问题，利用拓展欧几里德算法判断两者是否能在特定条件下相遇，并提供了解决方案的代码实现。

学习自http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2011/09/02/2164404.html，博主写得太好了，推荐！

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

拓展欧几里德算法：对于任意a*x+b*y = gcd(a,b)，以下算法可以求出满足该等式的一组解。

View Code

 1 int x,y;
 2 
 3 int GCD(int a,int b)
 4 {
 5     if(!b)
 6     {
 7         x = 1; y = 0; return a;
 8     }
 9     int temp,gcd;
10     gcd = GCD(b,a%b);
11     temp = x;
12     x = y;
13     y = x - (a/b)*y;
14     return gcd;
15 }

解析：为什么 b == 0的时候，x=1,y=0呢，因为b=0的话，原式就变成了a*x=gcd(a,0)=a。再考虑为什么y = temp - (a/b)*y，设第一层时等式为a*x+b*y=gcd(a,b),那么第二层就是
b*x1+(a%b)*y1 = gcd(b,a%b);由于gcd(a,b)==gcd(b,a%b),所以有a*x+b*y = b*x1+(a%b)*y1;考虑右边的式子，有b*x1+(a-a/b*b)*y1 = a*y1 + b*(x1-a/b)*y1（通过整数的除法得到）;再与左边式子比较，很明显下一层的y1 = 上一层的x, y = x1 - (a/b)*y1. (temp 存的就是 x1的值）。

这样便得到方程的一组解x,y。

对于一般等式a*x + b*y = c;则得到的解为x0 = x*c/gcd, y0 = y*c/gcd。(当c不能整除gcd时，无整数解）。若要得方程的所有整数解,一般的有x = x0 + b/gcd*k, y = y1 - a/gcd*k;k为任意整数。

View Code

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 __int64 x,y;
 7 
 8 __int64 GCD(__int64 a,__int64 b)
 9 {
10     if(!b)
11     {
12         x = 1;
13         y = 0;
14         return a;
15     }
16     __int64 temp,gcd;
17     gcd = GCD(b,a%b);
18     temp = x;
19     x = y;
20     y = temp - (a/b)*y;
21     return gcd;
22 }
23 
24 int main()
25 {
26     __int64 A,B,m,n,L;
27     while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&A,&B,&m,&n,&L))
28     {
29         __int64 a = n - m;
30         __int64 b = L;
31         __int64 c = A - B;
32         __int64 gcd = GCD(a,b);
33         if(c%gcd)
34         {
35             printf("Impossible\n");
36             continue;
37         }
38         x = x*(c/gcd);
39         y = y*(c/gcd);
40         __int64 ans = x*gcd/b;
41         ans = x - ans*b/gcd;
42         if(ans < 0)
43             ans += b/gcd;
44         printf("%I64d\n",ans);
45     }
46     return 0;
47 }