本文介绍了数学中的向量概念，包括其大小和方向的特性。详细阐述了向量的加法、数量乘法、内积和外积等基本运算，并通过实例展示了如何进行向量的线性组合。这些基础知识在各种科学和工程领域中都有着广泛应用。
什么是向量
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
直观地说，把一组数字排列成一行或一列，就成为向量。
如[4,5]，可以理解成一个二维空间的坐标点，也可以理解为从原点到这一点的有向线段。
向量的加法
[abc]+[def]=[a+db+ec+f] \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d \\ e \\ f \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a+d \\ b+e \\ c+f \end{bmatrix} ⎣⎡abc⎦⎤+⎣⎡def⎦⎤=⎣⎡a+db+ec+f⎦⎤
向量的数量乘法
d[abc]=[dadbdc] d\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} da \\ db \\ dc \end{bmatrix} d⎣⎡abc⎦⎤=⎣⎡dadbdc⎦⎤
向量间乘法
内积：
u⋅v=[u1u2u3]⋅[v1v2v3]=u1v1+u2v2+u3v3
u \cdot v = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3
u⋅v=⎣⎡u1u2u3⎦⎤⋅⎣⎡v1v2v3⎦⎤=u1v1+u2v2+u3v3
外积：
u×v=[u1u2]×[v1v2]=u1v2−u2v1
u \times v = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}=u_1v_2 - u_2v_1
u×v=[u1u2]×[v1v2]=u1v2−u2v1
外积表示u和v两个向量张成平面的法向量。
先数乘后叠加：向量的线性组合
cu+dv+ew=c[u1u2u3]+d[v1v2v3]+e[w1w2w3]=[cu1+dv1+ew1cu2+dv2+ew2cu3+dv3+ew3] cu+dv+ew=c\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}+e\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cu_1+dv_1+ew_1 \\ cu_2+dv_2+ew_2 \\ cu_3+dv_3+ew_3 \end{bmatrix} cu+dv+ew=c⎣⎡u1u2u3⎦⎤+d⎣⎡v1v2v3⎦⎤+e⎣⎡w1w2w3⎦⎤=⎣⎡cu1+dv1+ew1cu2+dv2+ew2cu3+dv3+ew3⎦⎤
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