《机器学习线性代数基础:Python语言描述》读书笔记----向量

本文介绍了数学中的向量概念,包括其大小和方向的特性。详细阐述了向量的加法、数量乘法、内积和外积等基本运算,并通过实例展示了如何进行向量的线性组合。这些基础知识在各种科学和工程领域中都有着广泛应用。

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什么是向量

在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。

直观地说,把一组数字排列成一行或一列,就成为向量。

如[4,5],可以理解成一个二维空间的坐标点,也可以理解为从原点到这一点的有向线段。

向量的加法

[abc]+[def]=[a+db+ec+f] \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d \\ e \\ f \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a+d \\ b+e \\ c+f \end{bmatrix} abc+def=a+db+ec+f

向量的数量乘法

d[abc]=[dadbdc] d\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} da \\ db \\ dc \end{bmatrix} dabc=dadbdc

向量间乘法

内积:
u⋅v=[u1u2u3]⋅[v1v2v3]=u1v1+u2v2+u3v3 u \cdot v = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 uv=u1u2u3v1v2v3=u1v1+u2v2+u3v3
外积:
u×v=[u1u2]×[v1v2]=u1v2−u2v1 u \times v = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}=u_1v_2 - u_2v_1 u×v=[u1u2]×[v1v2]=u1v2u2v1
外积表示u和v两个向量张成平面的法向量。

先数乘后叠加:向量的线性组合

cu+dv+ew=c[u1u2u3]+d[v1v2v3]+e[w1w2w3]=[cu1+dv1+ew1cu2+dv2+ew2cu3+dv3+ew3] cu+dv+ew=c\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}+e\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cu_1+dv_1+ew_1 \\ cu_2+dv_2+ew_2 \\ cu_3+dv_3+ew_3 \end{bmatrix} cu+dv+ew=cu1u2u3+dv1v2v3+ew1w2w3=cu1+dv1+ew1cu2+dv2+ew2cu3+dv3+ew3

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