18、乘法抑制与沃尔泰拉级数展开：神经网络分析新视角

乘法抑制与沃尔泰拉级数展开：神经网络分析新视角

1. 引言

在神经网络和视觉系统的研究中，非线性横向抑制是众多模型的基础。一些运动检测技术基于不对称连接的乘法横向抑制交互，而在边界轮廓系统中，分流抑制被用于消除光源影响以实现图形 - 背景分离。电子电路也能实现乘法抑制交互，展现出有趣的图像处理能力。为了分析这些系统的行为，我们采用沃尔泰拉 - 维纳级数展开的非线性系统合成与识别方法。同时，变分分析技术能直接建立描述网络动态的微分方程与沃尔泰拉级数之间的联系，网络的稳定性将在后续证明。

2. 时间域沃尔泰拉 - 维纳级数展开

线性系统识别的数学方法难以有效分析非线性系统，而沃尔泰拉 - 维纳展开的非线性分析技术在多个领域取得了成功应用，如随机介质中的波传播分析、随机表面散射、布朗运动、湍流理论和生物系统等。我们将此方法应用于研究一类神经网络的时间和空间特性。

考虑一个简单的神经网络系统：
[
\frac{dx_i}{dt} = I_i - a_ix_i + K_ix_i^2 - x_i \sum_{j \neq i} K_{ij}x_j
]
其中，(x_i) 是（电压）状态变量，(I_i) 是（电流）输入，(a_i) 是与生物网络中被动膜电导对应的被动衰减项，(K_i) 和 (K_{ij}) 是连接强度。该方程描述了一个具有自兴奋中心和乘法抑制周边的递归神经网络，虽简单却展现了乘法抑制的重要特性。

我们的目标是将上述方程的解写成维纳 - 沃尔泰拉展开形式：
[
x_i = H_{i0} + \int_{-\infty}^{\infty} H_{i1}(\tau) I(t - \t