5、最大割团问题的复杂度与启发式算法

最大割团问题的复杂度与启发式算法

在商业领域，市场篮子分析（MBA）可以用来表示多种业务模型。其中一个重要的营销方法是找出与其他物品强相关的物品子集，这一问题可以通过组合优化问题——最大割团（MCC）来形式化。

1. 最大割团问题的定义与复杂度

• 定义
  • 最大团（MAX - CLIQUE） ：给定一个图 $G = (V, E)$ 和一个实数 $K$，问题是是否存在一个团 $C \subseteq V$，使得 $|C| \geq K$。
  • 最大割团（MCC） ：给定一个图 $G = (V, E)$ 和一个实数 $K$，问题是是否存在一个团 $C \subseteq G$，使得 $|\delta(C)| \geq K$，这里 $\delta(C)$ 表示由节点集 $C$ 产生的割，或者当 $C$ 是团时，它是MCC的目标值。
• 复杂度 ：MCC 属于 NP 完全问题。证明思路是通过构造一个新图 $H$，将原简单图 $G$ 的每个节点连接 $m$ 个叶节点（$m$ 是图 $G$ 的边数）。如果能找到求解 MCC 的多项式时间算法，就能在 $H$ 中找到最大割团。而 $H$ 中的最大割团必然属于 $G$，且其大小与最大团的大小相关，从而证明 MCC 至少和最大团问题一样难，又因为 MCC 属于 NP 决策问题，所以它属于 NP 完全问题。

2. 最大割团问题的边界