19、辫群的高效实现

辫群的高效实现

1. 引言

辫群是密码学原语的优质来源。很难找到其他非交换群能像辫群一样高效地进行数字化处理。矩阵群是非交换群的典型例子，实际上任何群都可以通过表示被视为矩阵群。但指标为 $n$ 的辫群中的群乘法比 $(n × n)$ 矩阵的乘法更快。

2. 辫群的快速回顾

• 辫的定义 ：将若干平行的线交织在一起，使它们朝同一方向延伸，就得到了辫。在本文中，这个方向是水平向右，线的数量称为辫指标。指标为 $n$ 的辫的同痕类集合 $B_n$ 具有群结构，称为 $n$ - 辫群。两个辫 $x$ 和 $y$ 的乘积就是将它们依次排列，然后把 $x$ 的末端与 $y$ 的起始端相连。
• 简单辫的类型 ：
  • Artin 生成元 $\sigma_i$ ：在第 $i$ 条和第 $(i + 1)$ 条线之间有一个交叉，如图 1 (a) 所示。
  • 带生成元 $a_{ts}$ ：在第 $t$ 条和第 $s$ 条线之间有一个半扭转带，且该带跨越所有中间的线，如图 1 (b) 所示。
• 辫群的表示 ：
  • Artin 表示 ：由 Artin 生成元 $\sigma_1, \cdots, \sigma_{n - 1}$ 以及关系 $\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i$（当 $|i - j