18、加速 XTR 及相关算法的优化与应用

加速 XTR 及相关算法的优化与应用

1. XTR 单指数运算的优化

在 XTR 密码系统中，单指数运算的效率至关重要。传统的算法在计算速度上存在一定的瓶颈，而通过对算法的优化，可以显著提高运算效率。

使用算法 3.1 可以获得比算法 2.4 平均快 25%以上的 XTR 单指数运算方法，比基于较慢域算术的 [10] 中的单指数运算快 35%。具体操作步骤如下：
1. 若要基于 (c_1) 计算 (0 < u < q) 时的 (c_u)，将算法 3.1 应用于 (k = \ell = 1) 以及任意满足 (a + b = u) 的正整数 (a) 和 (b)，根据表 1 可期望比算法 2.4 有超过 14%的加速。
2. 为了实现 25%的加速，需要巧妙选择 (a) 和 (b)。若能使算法 3.1 步骤 4 中的迭代倾向于“低成本”步骤，同时快速减小 (d) 和 (e)，则算法 3.1 的运行速度会比随机选择 (a) 和 (b) 时更快。一种较好的拆分 (u) 的方式是使 (b/a) 接近黄金比例 (\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2})，即两个连续斐波那契数的渐近比例。

改进的 XTR 单指数运算步骤如下：
1. 给定 (u) 和 (c_1)，其中 (0 < u < q)。计算 (a = round(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}u)) 和 (b = u - a)（其中 (round(x)) 是最接近 (x) 的整数），使得 (b/a \approx \varphi)。
2. 令 (k = \ell = 1)，(c_k = c_{\ell} = c_1)，(c_{k - \e