离散化技术解析-优快云博客

离散化：把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。 ——百度百科

简单来说，离散化，就是为了省空间以及时间。具体做法是：将一个数列中的元素间的空隙吃掉，或者是将元素一个个拎起来塞到一个小的空间中。

适用情况

当这个数列中的元素的值的意义只是为了区分元素种类的不同时，可以对其进行离散化。比如记录颜色
当这个数列中的元素的值只是为了用来和别的元素比较大小时，可以对其离散化

总的来说，就是不关心数的实际大小，只关心它的相对大小。

作用

一般是用于开一个数组，这个数组的大小与题目中数字的大小有关，但是题目中数字大的一比，数字的个数却很小，这时候就考虑是否将它离散化了。

这道题应该大部分人都很熟悉，需要开一个树状数组统计有多少个数比当前的数小，但是数的大小为 $10^9$ ，显然开不出这个数组，但是发现我们只关注有多少个数比它小，也就满足了上面的第二个使用情况，并且只有 $5\times 10^5$ 个数，于是对其离散化，离散化后最大的数也就 $5\times 10^5$ ，于是就可以开数组了。

如何离散化

一、最朴素的做法——排序一下重新赋值（时间复杂度 $O (n l o g n)$ ）。也就是上面说的，将一个数列中的元素间的空隙吃掉

代码如下：

struct disc{int x,y;};
bool compp(disc x,disc y){return x.x<y.x;}
void discretization(int *darr,int dn)//将darr数组离散化
{
    static disc b[maxn];
    for(int i=1;i<=dn;i++)
    b[i].x=darr[i],b[i].y=i;//存下值以及该值在原数列中的位置
    sort(b+1,b+dn+1,compp);//按值排序
    static int tot=0;b[0].x=-9666;
    for(int i=1;i<=dn;i++)
    if(b[i].x!=b[i-1].x)darr[b[i].y]=++tot;//重新编号，注意，值原来一样的现在也应该一样
    else darr[b[i].y]=tot;
}

离散化前
$35621454111312$
离散化后
$43512$

但是利用 $s t l$ 还有更方便的写法：

for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i];  sort(b+1,b+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;

二、高级一点的做法——散列算法（ $O (玄学)$ ）

咋一看好像很高级，其实说白了，就是哈希。

哈希分两种，字符串哈希和数字哈希，这里用到的数字哈希，其实也就是一种离散化。

所谓哈希，就是将这个数mod p，然后再存下来，这样就可以将这些数字存在一个较小的范围内，这个数mod p后得到的值，称作它的hash值（哈希值）。也就是上面说的，将元素一个个拎起来塞到一个小的空间中

但也有很明显的问题，万一有两个数mod p的值一样怎么办？这就是很常见的哈希冲突，解决冲突的办法有很多种，我比较喜欢用的就是将所有hash值相同的元素构成链表。当然还有很多其他的办法，比如说 遇到冲突就将这个元素放到后一个位置，后一个位置还有的话继续往后 这样的。

其实不同的解决办法效率区别不大，主要的效率区别看是看脸，看欧气，如果 $p$ 值选的好，冲突较少，那么效率就高了。（这就是上面的时间复杂度的来由233）

顺手贴上代码（可能不大好看但很短呢qaq）：

#define mod 1000000007
#define maxn 100010
struct node{
	node *next;//链表中的下一个
	int x;//值
	node(int y):next(NULL),x(y){}
}*hash[maxn];//hash[i]表示hash值为i的那些元素的链表的表头
void add(int x)//加入一个值为x的元素
{
	node **t=&hash[x%mod];
	while(*t)t=&((*t)->next);//一直往链表的尾部走
	*t=new node(x);
}
bool check(int x)//查询hash表中
{
	node *now=hash[x%mod];
	while(now)if(now->x==x)return true;else now=now->next;
	return false;
}