[JZOJ5045]无限棋盘

题目大意

给定一个$n$行$m$列的字符串模板，让这个模板在平面内无限延伸形成棋盘（就是每一份模板的上下左右都是这个模板）。
现在你要在这个棋盘上随机挑选一个位置，又随机挑选一个方向（八个方向之一），并从该位置开始，沿着挑选的方向走$K-1$步，沿路记下每一个经过的字母（包括起点），得到一长度为$K$的字符串。试求出重复并独立执行该操作两次，得到的两个长度为$K$的字符串相同的概率。
以最简分数形式输出答案。

$1\le n,m\le500,2\le K\le10^9$

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题目分析

基本思路是弄出$n\times m$个格子所有方向的哈希值都弄出来，然后排序计算。
但是怎么搞出那个哈希值才能既保证复杂度又节省代码呢？
倍增！处理$2^i$长度的哈希值合并起来。
时间复杂度$\mathrm O(nm\log K)$。

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代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <utility>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL sqr(LL x){return x*x;}

const int N=505;
const int M=505;
const int D=8;
const int MOD=199999279;
const int P1=89;
const int P2=461;

typedef pair<int,int> P;

#define mkp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second

P operator+(P a,P b){return mkp((a.ft+b.ft)%MOD,(a.sd+b.sd)%MOD);}
P operator-(P a,P b){return mkp((a.ft-b.ft+MOD)%MOD,(a.sd-b.sd+MOD)%MOD);}
P operator*(P a,P b){return mkp(1ll*a.ft*b.ft%MOD,1ll*a.sd*b.sd%MOD);}
P operator*(P x,int y){return x*mkp(y%MOD,y%MOD);}
P operator+(P x,int y){return x+mkp(y%MOD,y%MOD);}
P operator-(P x,int y){return x-mkp(y%MOD,y%MOD);}

P quick_power(P x,int y)
{
    P ret=mkp(1,1);
    for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;
    return ret;
}

LL gcd(LL x,LL y){return y?gcd(y,x%y):x;}

int dir[D][2]={{-1,0},{-1,1},{0,1},{1,1},{1,0},{1,-1},{0,-1},{-1,-1}};
P f[2][N][M][D],g[N][M][D];
int tot,n,m,K;
char s[N][M];
P app[N*M*D];
P pri;
LL A,B;

void calc()
{
    pri=mkp(P1,P2);
    for (int i=0;i<n;++i)
        for (int j=0;j<m;++j)
            for (int d=0;d<D;++d)
                f[0][i][j][d]=mkp(s[i][j]-'a',s[i][j]-'a');
    for (int l=0,now=0,lst=1,sig=0;l<30;++l)
    {
        P tmp;int len=1<<l;
        if ((K>>l)&1)
        {
            tmp=quick_power(pri,sig);
            for (int i=0;i<n;++i)
                for (int j=0;j<m;++j)
                    for (int d=0;d<D;++d)
                    {
                        int x=((i+dir[d][0]*sig)%n+n)%n,y=((j+dir[d][1]*sig)%m+m)%m;
                        g[i][j][d]=g[i][j][d]+(f[now][x][y][d]*tmp);
                    }
            sig+=len;
        }
        tmp=quick_power(pri,len);
        swap(now,lst);
        for (int i=0;i<n;++i)
            for (int j=0;j<m;++j)
                for (int d=0;d<D;++d)
                {
                    int x=((i+dir[d][0]*len)%n+n)%n,y=((j+dir[d][1]*len)%m+m)%m;
                    f[now][i][j][d]=f[lst][i][j][d]+(f[lst][x][y][d]*tmp);
                }
    }
    for (int i=0;i<n;++i)
        for (int j=0;j<m;++j)
            for (int d=0;d<D;++d)
                app[++tot]=g[i][j][d];
    sort(app+1,app+1+tot);
    for (int i=1,j;i<=tot;i=j)
    {
        for (j=i+1;j<=tot&&app[i]==app[j];++j);
        A+=sqr(j-i);
    }
}

int main()
{
    freopen("chessboard.in","r",stdin),freopen("chessboard.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
    for (int i=0;i<n;++i) scanf("%s",s[i]);
    calc(),B=sqr(1ll*n*m*D);
    LL C=gcd(A,B);A/=C,B/=C;
    printf("%lld/%lld\n",A,B);
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}