[JZOJ4925]稻草人

题目大意

一个$n\times m$的矩形网格区域，有$n$个关键点在上面。这些点的$x$坐标和$y$坐标互不相同。
求这个网格区域存在多少个平行于坐标轴的矩形满足：
$\bullet$矩形的左下端点和右上端点都是关键点
$\bullet$矩形的内部（不包括边界）没有任何关键点。

$1\le n\le 2\times10^5,0\le x_i,y_i\le10^9$

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题目分析

先考虑对于一个关键点而言，我们怎么求出它作为左下角时所有的合法矩形。显然我们可以计算出其右上方所有关键点$x$递增$y$递减的单调栈，栈上的点数就是该点作为左下角的贡献。
那么现在我们有很多个关键点都要计算，怎么办呢？考虑使用分治。我们按照$x$坐标分治，每次计算所有跨过$x=mid$这条直线（左端点$x$坐标小于等于$mid$，右端点$x$坐标大于$mid$）的合法矩形的个数，然后递归处理$x\le mid$和$x>mid$的点。
怎么计算这个跨中线矩形数量呢？我们将所有在当前分治范围内的点按照$y$坐标从大到小排序，然后依次插入关键点。可以发现，我们对于所有$x>mid$维护$y$递减$x$递增的单调栈，对于左边新加入的点，右端只有在栈上的点才可以和该点组成合法矩形。但是即便是在栈上，也不一定可以，因为左端该点上方的点也有可能限制了该点的延伸。因此我们对左边再维护一个$y$递减$x$递减的单调栈，那么我往栈中加入当前点，弹掉不合法元素之后，前一个点便是限制我的那个点，然后右端能够和当前点组成矩形的点，其$y$坐标一定小于这个限制点，这个在右边二分查找就好了。
当然，为了让程序跑得更快，我们在分治过程中的排序可以使用归并排序，这样的话我们就要先分治再计算当前区间答案。
时间复杂度$\mathrm O(n\log^2n)$。

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代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cctype>

using namespace std;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

const int X=1000000000;
const int N=200050;

struct P
{
    int x,y;

    P(int x_=0,int y_=0){x=x_,y=y_;}
}scs[N];

bool cmp1(P a,P b){return a.x<b.x;}
bool cmp2(P a,P b){return a.y>b.y;}

long long ans;
P stack[2][N];
int top[2];
P tmp[N];
int n;

void divide(int l,int r)
{
    if (l==r) return;
    int mid=l+r>>1,x0=scs[mid].x;
    divide(l,mid),divide(mid+1,r);
    int cnt=0,cur1=l,cur2=mid+1;
    for (;cur1<=mid||cur2<=r;)
        if (cur2>r||cur1<=mid&&cmp2(scs[cur1],scs[cur2])) tmp[++cnt]=scs[cur1++];
        else tmp[++cnt]=scs[cur2++];
    memcpy(scs+l,tmp+1,cnt*sizeof(P));
    stack[0][top[0]=0]=P(X+1,X+1),stack[1][top[1]=0]=P(-X-1,X+2);
    for (int i=l;i<=r;i++)
        if (scs[i].x<=x0)
        {
            for (;top[0]&&stack[0][top[0]].x<scs[i].x;top[0]--);
            int y0=stack[0][top[0]].y;
            stack[0][++top[0]]=scs[i];
            int L=0,R=top[1],Mid,Ret=-1;
            while (L<=R)
            {
                Mid=L+R>>1;
                if (stack[1][Mid].y>y0) L=(Ret=Mid)+1;
                else R=Mid-1;
            }
            ans+=top[1]-Ret;
        }
        else
        {
            for (;top[1]&&stack[1][top[1]].x>scs[i].x;top[1]--);
            stack[1][++top[1]]=scs[i];
        }
}

int main()
{
    freopen("scarecrows.in","r",stdin),freopen("scarecrows.out","w",stdout);
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) scs[i].x=read(),scs[i].y=read();
    sort(scs+1,scs+1+n,cmp1);
    ans=0,divide(1,n);
    printf("%lld\n",ans);
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}