[JZOJ4900]完全平方数

题目大意

给定$n$，求用任意个不大于$n$的不同正整数相乘得到的最大的完全平方数是多少。
答案对$10^8+7$取模。

$1\le n\le5\times10^6$

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题目分析

这题的Trick不错，考场上我居然弱弱地没有想出来QwQ
显然出了贪心这种题目不可做了~
我们先把$1$到$n$所有数都乘起来，然后再去掉不能取的。
一个数是完全平方数当且仅当它的所有质因子的幂数都是偶数。
那么我们考虑一个质因子，如果它在$n$的阶乘中的幂数是奇数，我们要怎么办？显然是删掉这个质数是最优的！这样其它的数都能保留下来。
我们线筛一下，分解质因数就好了。虽然带个$\mathrm{log}$，但是还是很快的。
$\mathrm O(n\log_2n)$。

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代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N=5000000;
const int P=100000007;

int f[N+50],pri[N+50];
bool cnt[N+50];
int n,ans;

int quick_power(int x,int y)
{
    int ret=1;
    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P) if (y&1) ret=1ll*ret*x%P;
    return ret;
}

void pre()
{
    f[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!f[i]) f[i]=i,pri[++pri[0]]=i;
        for (int j=1;j<=pri[0];j++)
        {
            if (1ll*pri[j]*i>n) break;
            f[pri[j]*i]=pri[j];
            if (!(i%pri[j])) break;
        }
    }
}

void calc()
{
    ans=1;
    for (int i=1,x;i<=n;i++)
    {
        ans=1ll*ans*i%P;
        for (x=i;x!=1;x/=f[x]) cnt[f[x]]^=1;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) if (cnt[i]) ans=1ll*ans*quick_power(i,P-2)%P;
}

int main()
{
    freopen("number.in","r",stdin),freopen("number.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    pre(),calc();
    printf("%d\n",ans);
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}