57、学生项目分配问题近似算法的改进

学生项目分配问题近似算法的改进

1. 引言

基于参与者偏好的分配问题源自著名的医院/住院医生问题（HR），在众多领域都极为重要，例如教育系统中，学生需要被分配到小学，大学生需要被分配到研究项目。在大学场景里，每个学生可能对教授指导的某些研究项目有偏好，并且每个项目通常有可接受学生数量的上限。我们的基本目标是找到一种“稳定”的分配方案，让学生、项目或教授（如果他们对学生也有偏好）都不会抱怨分配不公平。这种稳定性的概念最早由Gale和Shapley在1962年的稳定婚姻问题中提出。

学生 - 项目分配问题（SPA）是此类问题的典型表述，涉及学生、项目和讲师。每个项目由一位讲师提供，一位讲师可提供多个项目。每个项目和讲师都有容量限制，学生对项目有偏好，讲师对学生有偏好。Abraham、Irving和Manlove证明了单个实例的所有稳定匹配大小相同，并提出了线性时间算法来寻找稳定匹配。

Manlove和O’Malley提出了SPA的变体，即带项目偏好的学生 - 项目分配问题（SPA - P）。在这个问题中，讲师对自己提供的项目有偏好，而非对学生有偏好。与SPA不同的是，SPA - P中稳定匹配的大小可能不同，并且找到最大稳定匹配的问题（MAX - SPA - P）是APX困难的。他们还给出了一个多项式时间的2 - 近似算法。

本文对MAX - SPA - P的近似比上下界进行了改进，给出了1.5的上界和21/19（> 1.1052）的下界。对于上界，我们使用Kir´aly的思想改进了Manlove和O’Malley的spa - p - approx算法；对于下界，我们给出了一个从最小顶点覆盖问题的保间隙归约。

2. 预备知识