39、图论中的分裂组合与最小污染问题研究

图论中的分裂组合与最小污染问题研究

1. 利用分裂组合扩展距离遗传图

在图论研究中，通过分裂组合来扩展距离遗传图是一个重要的方向。为了使用相关定理计算图的拉伸数，需要获取连接顶点的最大拉伸信息，并且随着图的重建，这些信息需要不断更新。

1.1 相关推论

设 (G_1 = (V_1, E_1)) 和 (G_2 = (V_2, E_2)) 是两个图，存在 (m_1 \in V_1) 使得 (s_{G_1}(m_1) = 2 - 1/i)，(m_2 \in V_2) 使得 (s_{G_2}(m_2) = 2 - 1/j)。若 (G = (G_1, m_1) * (G_2, m_2)) 且 (u \in G_1 \setminus {m_1})，则：
[s_G(u) = \max \left{ s_{G_1}(u), \frac{D_{G_1}(u, m_1) + D_{G_2}(m_2, m_2) - 1}{d_{G_1}(u, m_1) + d_{G_2}(m_2, m_2) - 1} \right}]
该推论可用于在分裂组合 (G_1 * G_2) 后更新 (G_1) 中节点 (u) 的拉伸数，并且通过对称性，也可用于更新 (G_2) 中节点的拉伸数。

1.2 计算拉伸数的算法

以下是计算图 (G \in Gen(*; P_3, C_3, C_5)) 拉伸数的算法：

Algorithm 1. 计算图 \(G \in Gen(*; P_3, C_3, C_5)\) 的拉伸数
Input: 图 \(G \in Gen(*; P_3,