17、精确阈值函数权重的更好上界

精确阈值函数权重的更好上界

在计算机科学和数学领域，阈值函数有着广泛的应用，例如在电路复杂性、学习理论和结构复杂性理论等方面。而精确阈值函数作为阈值函数的一种特殊类型，其权重的上界问题一直是研究的热点。本文将深入探讨精确阈值函数权重的上界问题，并给出相应的解决方案。

1. 背景知识

• 线性阈值函数 ：对于输入向量 $x \in R^n$，线性阈值函数 $f(x)$ 是一个布尔函数，它根据 $w^T x \geq t$ 来进行判断，其中 $w = (w_1, w_2, \ldots, w_n) \in R^n$ 被称为权重，$t \in R$ 被称为阈值。
• 线性精确阈值函数 ：如果一个布尔函数能够判断输入向量 $x \in {0, 1}^n$ 是否位于超平面 $w^T x = t$ 上（$w \in Z^n$，$t \in Z$），则称其为线性精确阈值函数。

为了表示一个精确阈值函数，我们需要找到合适的权重 $w$ 和阈值 $t$。然而，这种表示并不是唯一的，例如我们可以将 $w$ 和 $t$ 同时乘以一个因子。为了方便研究，我们通常假设 $w \in Z^n$ 且 $t \in Z$，并将 $\max_{1\leq i\leq n} |w_i|$ 定义为 $w$ 的关键权重。

2. 问题提出

对于精确阈值函数，一个自然且重要的问题是找到表示该函数所需的最小权重，即最小化关键权重 $\max_{1\leq i\leq n} |w_i|$。前人已经对这个问题进行了一些研究，给出了一些上下界的结果。例如，对于线性精确阈