9、子集和重配置问题的近似性分析

子集和重配置问题的近似性分析

在组合优化领域，子集和重配置问题是一个备受关注的问题。它涉及到在满足一定条件下，将一个物品子集重新配置为另一个子集的过程。本文将深入探讨该问题的复杂性、不可近似性以及如何设计有效的近似算法。

1. 基本概念与问题定义

在开始讨论之前，我们先明确一些基本概念。一个物品集合 $A$ 的一个打包 $A_i$ 是指 $A$ 的一个子集，且该子集中所有物品的总大小不超过背包的容量 $c$，用 $s(A_i)$ 表示打包 $A_i$ 的总大小，即 $s(A_i) = \sum_{a\in A_i} s(a)$。需要注意的是，一个打包并不一定满足某个阈值 $k$。

如果两个打包 $A_i$ 和 $A_j$ 的对称差的基数为 1，即 $|A_i \triangle A_j| = |(A_i \setminus A_j) \cup (A_j \setminus A_i)| = 1$，则称这两个打包相邻，其中 $A_i \triangle A_j$ 中的物品 $a$ 被认为在 $A_i$ 和 $A_j$ 之间移动。两个打包 $A_0$ 和 $A_t$ 之间的重配置序列是一个打包序列 $A_0, A_1, \cdots, A_t$，使得对于 $i = 1, 2, \cdots, t$，$A_{i - 1}$ 和 $A_i$ 相邻。对于一个重配置序列 $P$，我们用 $f(P)$ 表示 $P$ 中所有打包的最小总大小，即 $f(P) = \min{s(A_i) : A_i \in P}$。

对于两个打包 $A_0$ 和 $A_t$，定义 $OPT(A_0, A_t) = \max{f(P) | P$ 是 $A_0$ 和 $A_t$ 之间的重配置序列 $}