48、约旦区域并集的正则顶点数量研究

约旦区域并集的正则顶点数量研究

1. 区域变换

在处理平面上的约旦区域时，我们可以对区域集合进行变换，以满足特定的性质。假设有一个由 $n$ 个约旦区域组成的集合 $C$，且每对边界相交于有限个点。我们可以通过以下迭代过程对集合 $C$ 进行变换：
1. 区域排序 ：将区域 $C$ 中的区域任意排序为 $(c_1, \ldots, c_n)$。设 $C_i$ 表示经过 $i$ 步变换后的集合，初始时 $C_0 = C$。
2. 单步变换 ：对于 $C_{i - 1}$ 到 $C_i$ 的变换，令 $c = c_i$，并应用一个平面同胚 $\tau_c$ 将 $c$ 映射到闭单位圆盘 $D$。如果所有集合都是凸的，则 $\tau_c$ 为恒等映射，且 $D = c$。然后执行以下步骤：
- 步骤 (i) ：对于每个 $c’ \neq c \in C$，将 $D \cap \partial \tau_c(c’)$ 的每个最大连通弧替换为连接其端点的线段。
- 步骤 (ii) ：对 $\partial D \cap \text{int}(\tau_c(U))$ 的每个最大连通弧 $\gamma$ 进行短路处理。设 $u$ 和 $v$ 为 $\gamma$ 的端点，$a, b \in C$ 且 $a, b \neq c$ 分别是其变换后边界包含 $u$ 和 $v$ 的集合。若 $a \neq b$，则用线段 $uv$ 替换 $\gamma$；若 $a = b$，则在 $\partial D$ 上选择一个非常接近 $v$ 且在 $\tau_