35、近期强不可近似性结果与平面图最小消元排序研究

近期强不可近似性结果与平面图最小消元排序研究

1. 强不可近似性结果概述

许多自然优化问题是NP - 难的，在最坏情况下精确求解可能很困难。但在实际中，为大多数实例找到合理的近似解往往就足够了。因此，我们关注多项式时间近似算法的存在性。

对于一个算法，如果它对每个实例产生的答案与最优答案的偏差因子至多为C，那么它就是一个C - 近似算法。对于给定的NP - 完全问题，核心问题是确定C取何值时，我们能期望有多项式时间的C - 近似算法。本文主要关注否定结果，即对于某些C > 1，特定问题在多项式时间内无法以C为因子进行近似。

以3 - SAT问题为例，这是最基本的NP - 完全问题之一。其优化目标是尽可能满足更多的子句。随机赋值满足每个子句的概率为7/8，所以很容易（甚至确定性地）找到一个赋值满足7m/8个子句（m为子句总数），这就得到了一个8/7 - 近似算法。研究表明，这个算法在任意加性常数ϵ范围内是最优的。

另一个基本问题是求解域上的线性方程组。虽然高斯消元法能在多项式时间内求解，但对于超定方程组，找到满足最多方程的“最佳解”是NP - 难的。随机赋值能满足一半的方程，从而得到一个2 - 近似算法，并且在NP ≠ P的假设下，这个算法在任意ϵ > 0的范围内是多项式时间近似算法中的最优解。这些结果还可以扩展到任意阿贝尔群G上的线性方程组，通过局部归约，还能推广到许多其他NP - 难的近似问题。

2. 不可近似性研究的简短历史

早在Garey和Johnson的书中就讨论了证明某些近似问题NP - 难的问题，但直到1990年Feige等人的开创性论文发现了与多证明者交互式证明的联系，才得到真正强大的不可近