30、电网和微电网的潮流分析方法详解

A3B4C5

于 2025-08-18 16:18:06 发布

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分类专栏：智能电网与可再生能源系统设计精髓文章标签：潮流分析牛顿-拉夫逊算法解耦牛顿-拉夫逊算法

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电网和微电网的潮流分析方法详解

在电力系统的运行和规划中，潮流分析是一项至关重要的工作，它有助于我们了解电力系统中功率的分布和流动情况。本文将详细介绍几种常见的潮流分析方法，包括牛顿 - 拉夫逊算法、解耦牛顿 - 拉夫逊算法以及快速解耦潮流算法，并通过具体的例子展示这些方法的应用。

1. 牛顿 - 拉夫逊算法

牛顿 - 拉夫逊算法是一种常用的潮流计算方法，其基本步骤如下：
1. 将潮流方程写成残差形式 ：$F(X) = 0$。
2. 猜测一个解向量 ：即$X(0)$，并计算$F(X(0))$。
3. 计算雅可比矩阵$J$ ：在$X(0)$处计算雅可比矩阵$J$，公式为：
[
J =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}
\end{bmatrix}_{X = X(0)}
]
4. 计算$\Delta X$ ：使用公式$\Delta X = -[J]^{-1} \cdot F(X)$计算$\Delta X$。
5. 更新$X$ ：$X(i + 1) = X(i) + \Delta X$。
6. 计算$F(X)$ ：在$X(i + 1)$处计算$F(X)$。
7. 检查收敛性 ：如果$|F(X(i + 1))| < 10^{-6}$，则认为解已经收敛，存储解向量$X(i + 1)$；否则，更新$i$为$i + 1$，返回步骤 4。

下面是一个使用牛顿 - 拉夫逊算法求解潮流问题的 MATLAB 代码示例：

%Power Flow: Newton Raphson 
clc; clear all; 
mis_match = 0.0001; 
Y_bus = [  1/.25 + 1/.1      - 1/.25           - 1/.1; 
          - 1/.25       1/.25 + 1/.2        - 1/.2; 
          - 1/.1           - 1/.2         1/.1 + 1/.2]; 
P_sch  = [1; 1.2;  - 1.5]; 
N  = 3; % no. of buses 
% allocate storage for Jacobian 
J  = zeros(N - 1,N - 1); 
% initial mispatch 
V  = [1 1 1]'; 
P_calc  = V. * (Y_bus * V); 
mismatch  = [P_sch(2:N) - P_calc(2:N)]; 
iteration = 0; 
% Newton - Raphson iteration 
while (iteration < 10) 
    iteration = iteration + 1;   
    % calculate Jacobian 
    for i  = 2:N 
        for j  = 2:N 
            if (i  == j) 
                J(i - 1,j - 1) = Y_bus(i,:) * V + Y_bus(i,i) * V(i); 
            else 
                J(i - 1,j - 1) = Y_bus(i,j) * V(i); 
            end 
        end 
    end 
    % calculate correction 
    correction  = inv(J) * mismatch; 
    V(2:N)  = V(2:N) + correction(1:(N - 1));   
    % calculate mismatch and stop iterating 
    % if the solution has converged 
    P_calc  = V. * (Y_bus * V); 
    mismatch  = [P_sch(2:N) - P_calc(2:N)]; 
    if (norm(mismatch, 'inf')  <  mis_match) 
        break; 
    end 
end 
iteration 
% output solution data 
for i  = 1:N 
    fprintf(1,  'Bus %d:\n', i); 
    fprintf(1,  'Voltage  = %f p.u\n', abs(V(i))); 
    fprintf(1,  'Injected P  = %f p.u \n', P_calc(i)); 
end

2. 牛顿 - 拉夫逊算法的通用公式

为了更全面地描述牛顿 - 拉夫逊算法，我们可以从基本方程开始推导其通用公式。

对于每个节点$k$，有$I_k = \sum_{j = 1}^{n} Y_{kj} V_j$，其中$n$是节点数，$Y_{kj}$是节点导纳矩阵$Y_{Bus}$的元素。同时，$P_k + jQ_k = V_k I_k^*$，其中$P_k$和$Q_k$分别是节点$k$的有功和无功功率。

将电压和导纳表示为极坐标形式：$V_k = e_k + jf_k$，$Y_{kj} = G_{kj} + jB_{kj}$，代入上式可得：
[
P_k + jQ_k = V_k \sum_{j = 1}^{n} Y_{kj}^ V_j^
]

使用泰勒级数展开，将潮流问题表示为：
[
\Delta P_k = \sum_{j = 1}^{n} H_{kj} \Delta \theta_j + \sum_{j = 1}^{n} N_{kj} \Delta V_j
]
[
\Delta Q_k = \sum_{j = 1}^{n} J_{kj} \Delta \theta_j + \sum_{j = 1}^{n} L_{kj} \Delta V_j
]

写成紧凑形式为：
[
\begin{bmatrix}
\Delta P \
\Delta Q
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial P}{\partial \theta} & \frac{\partial P}{\partial V} \
\frac{\partial Q}{\partial \theta} & \frac{\partial Q}{\partial V}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\Delta \theta \
\Delta V
\end{bmatrix}
]

雅可比矩阵的对角元素计算公式如下：
[
H_{kk} = \frac{\partial P_k}{\partial \theta_k} = -Q_k - B_{kk} V_k^2
]
[
J_{kk} = \frac{\partial Q_k}{\partial \theta_k} = P_k - G_{kk} V_k^2
]
[
N_{kk} = \frac{\partial P_k}{\partial V_k} = 2G_{kk} V_k
]
[
L_{kk} = \frac{\partial Q_k}{\partial V_k} = -2B_{kk} V_k
]

雅可比矩阵的非对角元素计算公式如下：
对于$j \neq k$，设$I_j = a_j + jb_j = Y_{kj} V_j$，其中$a_j = G_{kj} e_j - B_{kj} f_j$，$b_j = B_{kj} e_j + G_{kj} f_j$。
[
H_{kj} = \frac{\partial P_k}{\partial \theta_j} = a_j f_k - b_j e_k
]
[
J_{kj} = \frac{\partial Q_k}{\partial \theta_j} = -a_j e_k - b_j f_k
]
[
N_{kj} = \frac{\partial P_k}{\partial V_j} = a_j e_k + b_j f_k
]
[
L_{kj} = \frac{\partial Q_k}{\partial V_j} = a_j f_k - b_j e_k
]

潮流计算软件通常包含以下步骤：
1. 重新编号节点 ：根据节点类型创建内部节点编号系统。
2. 选择平衡节点 ：选择一个节点作为平衡节点（通常为节点 1），然后是所有 P - V 节点。
3. 使用稀疏编程 ：减少存储需求。
4. 分解雅可比矩阵 ：将雅可比矩阵分解为上三角和下三角矩阵。
5. 计算雅可比矩阵元素 ：根据上述公式计算雅可比矩阵的对角和非对角元素。
6. 计算各节点的计算功率 ：
[
P_{k_{calculated}} = \sum_{j = 1}^{n} [e_k (G_{kj} e_j - B_{kj} f_j) + f_k (B_{kj} e_j + G_{kj} f_j)]
]
[
Q_{k_{calculated}} = \sum_{j = 1}^{n} [f_k (G_{kj} e_j - B_{kj} f_j) - e_k (B_{kj} e_j + G_{kj} f_j)]
]
7. 计算功率不匹配 ：
[
\Delta P_k = P_{k_{scheduled}} - P_{k_{calculated}}
]
[
\Delta Q_k = Q_{k_{scheduled}} - Q_{k_{calculated}}
]

雅可比矩阵在每次迭代时根据上一次计算的解进行评估。

3. 解耦牛顿 - 拉夫逊算法

数值研究表明，电压幅值的变化对功率潮流影响较小，电压相角的变化对无功功率潮流影响较小。基于这些假设，可以解耦$\Delta P - \theta$和$\Delta Q - V$方程，从而减少大规模电网潮流分析所需的计算机内存。

假设$\frac{\partial P}{\partial V} = 0$，$\frac{\partial Q}{\partial \theta} = 0$，则潮流方程可以解耦为两个独立的方程：
[
\Delta P = \frac{\partial P}{\partial \theta} \Delta \theta
]
[
\Delta Q = \frac{\partial Q}{\partial V} \Delta V
]

写成矩阵形式为：
[
\begin{bmatrix}
\Delta P \
\Delta Q
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
H & 0 \
0 & L
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\Delta \theta \
\Delta V
\end{bmatrix}
]
其中$H = \frac{\partial P}{\partial \theta}$，$L = \frac{\partial Q}{\partial V}$。

4. 快速解耦潮流算法

快速解耦潮流（FDLF）算法是牛顿 - 拉夫逊算法的改进版本，它利用了有功和无功功率之间的弱耦合关系，使用两个常数矩阵来近似和解耦雅可比矩阵。

将$H$矩阵重写为：
[
\Delta P = H \Delta \theta
]
[
H = \frac{\partial P}{\partial \theta} = V B’ V
]
[
\Delta P = V B’ V \Delta \theta
]

两边同时除以$V$，并令$V = 1$，得到：
[
\frac{\Delta P}{V} = B’ \Delta \theta
]

类似地，对于$L$矩阵：
[
\Delta Q = L \frac{\Delta V}{V}
]
[
L = \frac{\partial Q}{\partial V} = V B’’ V
]
[
\frac{\Delta Q}{V} = B’’ \Delta V
]

其中$B’‘$是节点导纳矩阵$Y$的虚部，$B’$与$B’‘$相同，但忽略了线路电阻和并联元件。

FDLF 方法减少了内存需求，在大多数问题中能够收敛到可接受的解，但迭代次数会增加。当电网中存在短电缆和移相变压器时，FDLF 可能无法收敛。不过，如果 FDLF 收敛，其解的精度与完整的牛顿 - 拉夫逊方法相同。

5. 潮流问题分析示例

考虑一个微电网的注入模型，使用解耦牛顿 - 拉夫逊方法进行分析。已知部分节点的电压和功率注入，通过线性化方程来求解未知节点的电压和相角。

例如，对于一个包含多个节点的微电网，根据节点之间的连接关系和功率注入情况，可以列出以下方程：
[
\Delta P_2 = \frac{\partial P_2}{\partial \theta_2} \Delta \theta_2 + \frac{\partial P_2}{\partial \theta_5} \Delta \theta_5
]
[
\Delta P_3 = \frac{\partial P_3}{\partial \theta_3} \Delta \theta_3 + \frac{\partial P_3}{\partial \theta_6} \Delta \theta_6
]
[
\cdots
]

将这些方程写成矩阵形式：
[
\begin{bmatrix}
\Delta P_2 \
\Delta P_3 \
\vdots
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
H_{22} & H_{25} & \cdots \
H_{33} & H_{36} & \cdots \
\vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\Delta \theta_2 \
\Delta \theta_3 \
\vdots
\end{bmatrix}
]

同样，对于无功功率和电压的关系也可以列出类似的方程。

6. 具体算例

下面通过一个具体的微电网算例，展示如何使用上述方法进行潮流计算。

6.1 算例描述

考虑一个包含多个光伏电站和负载的微电网，已知变压器参数、负载功率、线路参数等信息，要求计算微电网的节点电压和功率潮流。

6.2 计算步骤

计算基准值 ：设$S_{base} = 10$ MVA，$V_{base} = 460$ V，计算基准阻抗$Z_{base} = \frac{V_{base}^2}{S_{base}}$和基准导纳$Y_{base} = \frac{1}{Z_{base}}$。
计算线路阻抗和导纳 ：根据线路的电阻、电抗和长度，计算线路的阻抗和导纳。
计算节点导纳矩阵$Y_{Bus}$ ：根据线路导纳和变压器参数，计算节点导纳矩阵。
选择计算方法 ：使用牛顿 - 拉夫逊和高斯 - 赛德尔方法计算负载节点电压。
计算功率潮流 ：根据计算得到的节点电压，计算各节点的功率潮流。
分析结果 ：判断是否需要从本地电网进口或出口绿色能源。

6.3 结果分析

通过计算得到各节点的电压、功率注入和功率潮流，分析结果如下：
| 节点编号 | 电压（p.u） | 角度（°） | 发电功率（MW） | 负载功率（MW） | $\Delta P$ | $\Delta Q$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 1.000 | 0.0 | 0.427 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1.000 | -4.1 | 0.075 | 0 | $0.005 \times 10^{-10}$ | 0 |
| 3 | 1.000 | -2.5 | 0.300 | 0 | $0.021 \times 10^{-10}$ | 0 |
| 4 | 0.994 | -2.5 | 0 | 0.150 | $0.189 \times 10^{-10}$ | $0.424 \times 10^{-10}$ |
| 5 | 0.991 | -4.6 | 0 | 0.250 | $0.127 \times 10^{-10}$ | $0.002 \times 10^{-10}$ |
| 6 | 0.992 | -4.3 | 0 | 0.100 | $0.079 \times 10^{-10}$ | $0.071 \times 10^{-10}$ |
| 7 | 0.992 | -4.3 | 0 | 0.200 | $0.233 \times 10^{-10}$ | $0.110 \times 10^{-10}$ |
| 8 | 0.986 | -4.8 | 0 | 0.100 | $0.074 \times 10^{-10}$ | $0.009 \times 10^{-10}$ |

从结果可以看出，节点 1 从本地电网进口功率，光伏电站 1 和 2 分别发电 0.75 MW 和 3 MW。

7. 总结

本文详细介绍了电网和微电网潮流分析的几种常见方法，包括牛顿 - 拉夫逊算法、解耦牛顿 - 拉夫逊算法和快速解耦潮流算法。通过具体的算例，展示了这些方法的应用和计算步骤。不同的算法各有优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的算法。同时，潮流分析对于电力系统的运行和规划具有重要意义，能够帮助我们更好地了解电力系统的性能和状态。

下面是一个用 mermaid 表示的牛顿 - 拉夫逊算法流程图：

graph TD;
    A[初始化 X] --> B[计算 F(X)];
    B --> C[计算雅可比矩阵 J];
    C --> D[计算 ΔX = -[J]^(-1) * F(X)];
    D --> E[更新 X = X + ΔX];
    E --> F[计算 F(X)];
    F --> G{是否收敛?};
    G -- 是 --> H[存储解向量 X];
    G -- 否 --> I[更新迭代次数 i = i + 1];
    I --> C;

综上所述，掌握这些潮流分析方法对于电力系统的研究和实践具有重要价值。

电网和微电网的潮流分析方法详解

8. FDLF 算法的矩阵计算与应用

在前面提到的具体算例基础上，进一步对 FDLF 算法的矩阵计算和应用进行深入探讨。

8.1 计算 FDLF 的矩阵 $B’$ 和 $B’‘$

在该算例中，已知节点 1 为平衡节点，节点 2 和 3 为 P - V 节点，所以在八个节点中，有五个 PQ 节点。矩阵 $B’$ 是一个 $5 \times 5$ 的矩阵，它等于 $Y_{Bus}$ 矩阵最后五行五列的虚部：
[
B’ =
\begin{bmatrix}
-18.46 & 0 & 0 & -8.46 & 0 \
0 & -45.26 & -14.11 & -21.16 & 0 \
0 & -14.11 & -55.84 & -21.16 & -10.58 \
-8.46 & -21.16 & -21.16 & -50.78 & 0 \
0 & 0 & -10.58 & 0 & -10.18
\end{bmatrix}
]

为了计算矩阵 $B’‘$，需要忽略线路电阻和并联元件。$B’‘$ 是一个 $7 \times 7$ 的矩阵，其对角元素计算如下：
[
\begin{align }
B_{22}’’ &= -j10 \
B_{33}’’ &= -j10 \
B_{44}’’ &= -j(8.71 + 10) = -j18.71 \
B_{55}’’ &= -j(14.52 + 21.78 + 10) = -j46.30 \
B_{66}’’ &= -j(14.52 + 21.78 + 10) = -j46.30 \
B_{77}’’ &= -j(8.71 + 21.78 + 10.89) = -j52.27 \
B_{88}’’ &= -j10.89
\end{align }
]

非对角元素的计算公式为 $B_{kj}’’ = \frac{1}{x_{kj,p.u}}$，其中 $x_{kj,p.u}$ 是节点 $k$ 和 $j$ 之间的单位串联电抗。矩阵 $B’‘$ 是对称的，其上三角元素如下：
[
\begin{align }
B_{25}’’ &= -\frac{1}{0.1} = -j10 \
B_{36}’’ &= -\frac{1}{0.1} = -j10 \
B_{47}’’ &= -\frac{1}{0.1148} = -j8.71 \
B_{56}’’ &= -\frac{1}{0.0689} = -j14.52 \
B_{57}’’ &= -\frac{1}{0.0459} = -j21.78 \
B_{67}’’ &= -\frac{1}{0.0459} = -j21.78 \
B_{68}’’ &= -\frac{1}{0.0918} = -j10.89
\end{align }
]

则矩阵 $B’‘$ 为：
[
B’’ =
\begin{bmatrix}
-10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & -18.71 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & -46.30 & -14.52 & -21.78 & 0 \
0 & 0 & 0 & -14.52 & -57.19 & -21.78 & -10.89 \
0 & 0 & 0 & -21.78 & -21.78 & -52.27 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & -10.89 & 0 & -10.89
\end{bmatrix}
]

8.2 使用 FDLF 方法计算负载节点电压和不匹配度

使用 FDLF 方法计算负载节点电压和不匹配度时，选择误差容限为 $1 \times 10^{-5}$。经过六次迭代后，解收敛，结果如下表所示：

节点编号	电压（p.u）	角度（°）	发电功率（MW）	负载功率（MW）	$\Delta P$	$\Delta Q$
1	1.000	0.0	0.427	0	0	0
2	1.000	-4.1	0.075	0	$0.002 \times 10^{-5}$	0
3	1.000	-2.5	0.300	0	$0.002 \times 10^{-5}$	0
4	0.994	-2.5	0	0.150	$0.052 \times 10^{-5}$	$0.086 \times 10^{-5}$
5	0.991	-4.6	0	0.250	$0.063 \times 10^{-5}$	$0.129 \times 10^{-5}$
6	0.992	-4.3	0	0.100	$0.388 \times 10^{-5}$	$0.295 \times 10^{-5}$
7	0.992	-4.3	0	0.200	$0.301 \times 10^{-5}$	$0.504 \times 10^{-5}$
8	0.986	-4.8	0	0.100	$0.190 \times 10^{-5}$	$0.062 \times 10^{-5}$

功率通过传输线路和变压器的情况如下表所示：

从节点编号	到节点编号	有功功率流（p.u）	无功功率流（p.u）
1	4	0.427	0.065
2	5	0.075	0.094
3	6	0.300	0.085
4	7	0.277	-0.025
5	6	-0.079	-0.006
5	7	-0.097	-0.021
6	7	0.021	-0.012
6	8	0.100	0.049

从结果可以看出，FDLF 方法在该算例中能够收敛到一个可接受的解，并且与前面的算例结果有一定的相似性。

9. 不同算法的对比与分析

为了更清晰地了解不同算法的性能，下面对牛顿 - 拉夫逊算法、高斯 - 赛德尔算法和 FDLF 算法进行对比分析。

算法名称	收敛迭代次数	计算复杂度	内存需求	适用场景
牛顿 - 拉夫逊算法	较少（如算例中 3 次）	高，需要计算雅可比矩阵及其逆	高	对精度要求高，系统规模适中的情况
高斯 - 赛德尔算法	较多（如算例中 392 次）	低，计算简单	低	对计算速度要求不高，系统规模较小的情况
FDLF 算法	中等（如算例中 6 次）	较低，使用常数矩阵近似雅可比矩阵	低	大规模电网潮流分析，对内存需求敏感的情况

通过对比可以发现，不同算法在收敛速度、计算复杂度和内存需求等方面存在差异。在实际应用中，需要根据系统的特点和需求选择合适的算法。例如，对于小型微电网，高斯 - 赛德尔算法可能是一个不错的选择；而对于大型电网，FDLF 算法则更具优势。

10. 潮流分析在电力系统中的重要性

潮流分析在电力系统的运行和规划中具有不可替代的重要性，主要体现在以下几个方面：

系统规划 ：在电力系统的规划阶段，潮流分析能够帮助确定发电、输电和配电设备的容量和布局。通过对不同规划方案进行潮流计算，可以评估系统的可靠性和经济性，从而选择最优的规划方案。
运行调度 ：在电力系统的运行过程中，潮流分析可以实时监测系统的功率分布和电压水平。调度人员可以根据潮流计算结果，合理安排发电和负荷，确保系统的安全稳定运行。
故障分析 ：当电力系统发生故障时，潮流分析可以帮助分析故障对系统的影响，确定故障的位置和范围。通过对故障后的潮流计算，可以评估系统的恢复能力，制定合理的故障恢复策略。

11. 总结与展望

本文全面介绍了电网和微电网潮流分析的多种方法，包括牛顿 - 拉夫逊算法、解耦牛顿 - 拉夫逊算法、快速解耦潮流算法等，并通过具体算例展示了这些方法的应用。不同算法各有优缺点，在实际应用中需要根据具体情况进行选择。

随着电力系统的不断发展，新能源的大规模接入、智能电网的建设等都对潮流分析提出了更高的要求。未来的潮流分析方法需要更加高效、准确，能够适应复杂多变的电力系统。例如，结合人工智能技术，开发智能潮流分析算法，提高潮流计算的速度和精度；考虑分布式电源和储能设备的影响，完善潮流分析模型等。

总之，潮流分析作为电力系统研究的重要内容，将在未来的电力系统发展中发挥更加重要的作用。

下面是一个用 mermaid 表示的不同算法选择流程图：

graph TD;
    A[确定系统规模和需求] --> B{系统规模大?};
    B -- 是 --> C{对内存需求敏感?};
    C -- 是 --> D[选择 FDLF 算法];
    C -- 否 --> E{对精度要求高?};
    E -- 是 --> F[选择牛顿 - 拉夫逊算法];
    E -- 否 --> G[选择解耦牛顿 - 拉夫逊算法];
    B -- 否 --> H{对计算速度要求高?};
    H -- 是 --> F;
    H -- 否 --> I[选择高斯 - 赛德尔算法];

通过本文的介绍，希望读者能够对电网和微电网的潮流分析方法有更深入的了解，并在实际工作中能够根据具体情况选择合适的算法进行潮流计算。