单队优化DP

本文介绍了一种在特定约束条件下使用单队优化算法解决最值问题的方法。通过延迟元素入队,结合额外队列维护最大最小值,实现高效求解。文章分享了考场实战经验及代码实现细节。

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[题目描述]

[题解]

如果忽略掉K的限制,单队优化是很显然的.

加上k后,我们要"延迟"元素进队的时间,在适当的时候再把元素进队.

另外,考场上没想到直接用单队维护maxmin,打了个线段树,再加上方程推错,交上去各种WA,最后终于被众人碾压.

为了维护maxmin,再开2个队列.以max为例,维护一个元素单减的序列,队首的删除与决策队列同步.(Orz考场上想出来的CCL大神犇)

感觉这道题目不是什么神题,但是给我们提供了一个很好的思路:用单队维护决策以外的东西(如maxmin),以后可能会用到.

代码很丑,懒得推队列同步的时机.要用的时候一顿猛删元素,不过也过了.

Code:

program gift;
type int=longint;
var
        i,j,ii:longint;
        k,m,n,tot,tt:int;
        w,f,q,q1,q2:array[0..201000]of int;
        l,r,l1,l2,r1,r2:int;

procedure Delete;
begin
        while(l<=r)and(q[l]>=q1[l1])do inc(l1);
        while(l<=r)and(q[l]>=q2[l2])do inc(l2);
        while(l<=r)and(w[q1[l1]]-w[q2[l2]]>m)do begin
                inc(l);
                while(l<=r)and(q[l]>=q1[l1])do inc(l1);
                while(l<=r)and(q[l]>=q2[l2])do inc(l2);
        end;
end;

procedure dp;
begin
        if k=1 then begin f[n]:=n;end;
        l1:=1;l2:=1;l:=1;
        r1:=0;r2:=0;r:=0;
        f[0]:=0;
        for i:=1 to n do begin
                while(l<=r)and(q[l]>=q1[l1])do inc(l1);
                while(l<=r)and(q[l]>=q2[l2])do inc(l2);
                while(l1<=r1)and(w[q1[r1]]<=w[i])do dec(r1);//max
                while(l2<=r2)and(w[q2[r2]]>=w[i])do dec(r2);//min
                inc(r1);inc(r2);q1[r1]:=i;q2[r2]:=i;
                Delete;
                if l<=r then f[i]:=f[q[l]]+i-q[l] else f[i]:=0;
                if f[i]<f[i-1]then f[i]:=f[i-1];
                if(i-k+1>=0)then begin
                        j:=i-k+1;
                        while(l<=r)and(f[q[r]]-q[r]<=f[j]-j)do dec(r);
                        inc(r);q[r]:=j;
                end;
        end;
end;

begin
        assign(input,'gift.in');reset(input);
        assign(output,'gift.out');rewrite(output);
        read(tt);
        for ii:=1 to tt do begin
                read(n,m,k);
                for i:=1 to n do read(w[i]);
                dp;
                writeln(f[n]);
        end;
        close(input);close(output);
end.


                
内容概要:本文详细介绍了如何使用STM32微控制器精确控制步进电机,涵盖了从原理到代码实现的全过程。首先,解释了步进电机的工作原理,包括定子、转子的构造及其通过脉冲信号控制转动的方式。接着,介绍了STM32的基本原理及其通过GPIO端口输出控制信号,配合驱动器芯片放大信号以驱动电机运转的方法。文中还详细描述了硬件搭建步骤,包括所需硬件的选择与连接方法。随后提供了基础控制代码示例,演示了如何通过定义控制引脚、编写延时函数和控制电机转动函数来实现步进电机的基本控制。最后,探讨了进阶优化技术,如定时器中断控制、S形或梯形加减速曲线、微步控制及DMA传输等,以提升电机运行的平稳性和精度。 适合人群:具有嵌入式系统基础知识,特别是对STM32和步进电机有一定了解的研发人员和技术爱好者。 使用场景及目标:①学习步进电机与STM32的工作原理及二者结合的具体实现方法;②掌握硬件连接技巧,确保各组件间正确通信;③理解并实践基础控制代码,实现步进电机的基本控制;④通过进阶优化技术的应用,提高电机控制性能,实现更精细和平稳的运动控制。 阅读建议:本文不仅提供了详细的理论讲解,还附带了完整的代码示例,建议读者在学习过程中动手实践,结合实际硬件进行调试,以便更好地理解和掌握步进电机的控制原理和技术细节。同时,对于进阶优化部分,可根据自身需求选择性学习,逐步提升对复杂控制系统的理解。
<think>好的,用户想了解斜率优化动态规划的概念及实现方法。首先,我需要回忆一下动态规划的基础知识,特别是优化方法。动态规划通常有递推和记忆化搜索两种实现方式,而斜率优化属于一种高级的优化技巧,用于降低时间复杂度。 用户提到的参考引用中提到,递推的效率比记忆化搜索高,并且很多优化技巧如滚动数组、列、斜率优化都建立在递推上。所以,斜率优化应该属于递推方法的一种扩展。 接下来,我需要明确斜率优化的核心思想。根据已有的知识,斜率优化通常用于处理状态转移方程中的决策变量,通过分析转移方程的数学形式,将其转化为斜率问题,从而利用列或凸包等数据结构来优化决策过程。 例如,当状态转移方程形如$dp[i] = \min\{dp[j] + f(i,j)\}$,其中$f(i,j)$可以分解为与i和j相关的项,可能可以将其转换为斜率的形式。比如,若$f(i,j)=a[i]*b[j]+c[i]+d[j]$,可能将式子整理为关于$b[j]$和$dp[j]+d[j]$的线性表达式,进而比较不同j值的斜率,选择最优的决策点。 需要解释为什么这种方法有效,可能涉及到维护一个下凸包或上凸包,确保每次决策时选取的j是最优的,从而将时间复杂度从O(n^2)降低到O(n)或O(n log n)。 然后,结合用户提供的引用内容,特别是引用[2]提到的QP优化DP结合,可能斜率优化在路径规划中的应用,但用户的问题更关注动态规划中的斜率优化,所以需要专注于算法实现的步骤。 需要给出具体的例子,比如任务安排问题,或者最大子序列问题,来展示斜率优化的应用步骤。例如,经典的任务安排问题,其中状态转移方程可以斜率优化,通过维护一个列来快速找到最优的前驱状态。 在实现步骤方面,应该分步骤解释:问题分析、状态转移方程整理为斜率形式、数据结构的选择(如列)、维护凸包的过程、以及最终的时间复杂度分析。 同时,要注意数学表达式的正确格式,使用$$...$$和$...$,并确保LaTeX语法正确。例如,将状态转移方程写成$$dp[i] = \min_{j<i}\{ dp[j] + (S + T_i)(C_i - C_j) \}$$,然后展开分析。 另外,用户提供的引用中有提到变积分PID和QP优化,虽然这些可能与斜率优化无直接关联,但需要确保不混淆概念,专注于动态规划中的斜率优化部分。 最后,生成相关问题时要围绕斜率优化的应用场景、与其他优化方法的比较、具体实现中的挑战等,帮助用户深入理解。</think>### 斜率优化动态规划详解 #### 概念解析 斜率优化动态规划(Slope Optimization DP)是一种通过**分析状态转移方程的斜率特性**来优化决策过程的方法,可将部分动态规划问题的时间复杂度从$O(n^2)$降至$O(n)$或$O(n \log n)$[^1]。其核心是将状态转移方程转换为**线性关系式**,通过维护**决策点集的凸包**快速筛选最优决策。 #### 算法原理 1. **状态转移方程重构** 设状态转移方程为: $$dp[i] = \min_{j<i}\{ dp[j] + f(i,j) \}$$ 若$f(i,j)$可分解为$A(i) \cdot B(j) + C(i) + D(j)$形式,则方程可改写为: $$dp[i] = C(i) + \min_{j<i}\{ A(i) \cdot B(j) + (dp[j] + D(j)) \}$$ 此时决策变量$j$的优劣可转化为**点$(B(j), dp[j]+D(j))$的斜率比较**。 2. **凸包维护** 通过维护决策点集的**下凸包**(当$A(i)$调递增)或**上凸包**(当$A(i)$调递减),使用列/栈快速剔除无效决策点。 #### 实现步骤(以经典任务安排问题为例) **问题描述** 处理$n$个任务,每个任务耗时$t_i$,费用系数$c_i$。目标最小化总费用: $$总费用 = \sum_{i=1}^n (\text{完成时间} \times c_i)$$ **状态转移方程** $$dp[i] = \min_{j<i}\left\{ dp[j] + (S + T_i)(C_i - C_j) \right\}$$ 其中$T_i = \sum_{k=1}^i t_k$, $C_i = \sum_{k=1}^i c_k$,$S$为启动延迟。 **斜率优化过程** 1. **方程变形** 将方程展开为: $$dp[i] = S \cdot C_i + T_i \cdot C_i + \min_{j<i}\{ dp[j] - S \cdot C_j - T_i \cdot C_j \}$$ 令: $$ \begin{cases} k = T_i \\ x_j = C_j \\ y_j = dp[j] - S \cdot C_j \\ \end{cases} $$ 则状态转移简化为: $$dp[i] = (S + T_i)C_i + \min_{j<i}\{ y_j - k x_j \}$$ 2. **决策点筛选** 最优决策点需满足: $$\frac{y_j - y_k}{x_j - x_k} \leq k_i \quad (\text{下凸包条件})$$ 使用列维护凸包,首即为当前最优决策。 **Python实现示例** ```python def slope_optimization_dp(n, S, t, c): T = [0]*(n+1) # 前缀时间和 C = [0]*(n+1) # 前缀费用和 dp = [0]*(n+1) q = deque([0]) # 列存储决策点索引 for i in range(1, n+1): T[i] = T[i-1] + t[i-1] C[i] = C[i-1] + c[i-1] # 剔除首非最优决策 while len(q)>=2 and (dp[q[1]] - dp[q[0]]) <= (S + T[i])*(C[q[1]] - C[q[0]]): q.popleft() j = q[0] dp[i] = dp[j] + (S + T[i] - T[j])*(C[i] - C[j]) # 维护下凸包 while len(q)>=2 and (dp[i]-dp[q[-1]])*(C[q[-1]]-C[q[-2]]) <= (dp[q[-1]]-dp[q[-2]])*(C[i]-C[q[-1]]): q.pop() q.append(i) return dp[n] ``` #### 关键优化点 - **时间复杂度**:从$O(n^2)$优化至$O(n)$ - **数据结构**:列实现$O(1)$时间复杂度的决策筛选 - **适用条件**:状态转移方程需满足**决策调性**且参数满足**斜率调性** #### 典型应用场景 1. 任务调度问题 2. 最优库存控制 3. 资源分配优化 4. 路径规划中的轨迹平滑(如自动驾驶中的QP优化前处理[^2])
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