四边形不等式优化石子合并

关于四边形不等式或石子合并的资料。网上有很多。但有不少都是语焉不详,直接抛给你几个结论,让人很难理解。这篇文章将以石子合并为例。证明关于四边形不等式的一些结论。算是一个温习。

【题面】

      在一个操场上摆放着一排n（n≤20）堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。

试编程求出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分以及相应的合并方案。

【算法分析】

         下面只讨论最小得分的情况，最大得分的情况类似。

         设

f[I,j]=min{f[I,k]+f[k+1,j]+w[I,j]}{i<=k<j}，特别的，f[I,i]=0。

         很明显,这是一个O(n^3)的动规

【算法优化】

         下面是重头戏。

         首先给出两个定义：

         (1)当函数w[i,j]满足w[i,j]+w[i',j']<=w[i',j]+w[i,j'],i<=i'<=j<=j'时，称w满足四边形不等式。

         (2)当函数w[i,j]满足w[i’,j]≤w[i,j’],i<=i'<=j<=j' 时称w关于区间包含关系单调。

       很明显的,一开始定义的w[I,j]满足区间包含关系和四边形不等式。

        现在我们要证明f[I,j]=min{f[I,k]+f[k+1,j]+w[I,j]}{i<=k<j}也满足四边形不等式

        我们利用数学归纳法对四边形不等式中的区间长度进行归纳。

证明如下：

      当i=i’或j=j’时，不等式显然成立。由此可知，当l≤1时，函数f满足四边形不等式。

      下面分两种情形进行归纳证明：

      情形1：i<i’=j<j’

      在这种情形下，四边形不等式简化为如下的不等式：f[i,j]+f[j,j’] ≤f[i,j’]+0，设k=max{p| f[i,j’]=f[i,p-1]+f[p,j’]+w[i,j’] }，再分两种情形k≤j或k>j。下面只讨论k≤j，k>j的情况是类似的。

      情形1.1：k≤j，此时：

      情形1.2：k>j，略去

      情形2：i<i’<j<j’

      设 y=max{p | f[i’,j]=f[i’,p-1]+f[p,j]+w[i’,j] }

        z=max{p | f[i,j’]=f[i,p-1]+f[p,j’]+w[i,j’] }

       仍需再分两种情形讨论，即z≤y或z>y。下面只讨论z≤y，z>y的情况是类似的。

       情形2.1，i<z≤y≤j。

        显然的，我们有：

         f[i,j]+f[i',j']<=w[i,j]+f[i,z-1]+f[z,j]+w[i',j']+f[i',y-1]+f[y,j']

        因为w满足四边形不等式，所以：

        f[i,j]+f[i',j']<=w[i,j']+w[i',j]+f[i',y-1]+f[i,z-1]+f[z,j]+f[y,j']

        因为f[i,j']+f[i',j]=w[i,j']+w[i',j]+f[i',y-1]+f[i,z-1]+f[y,j]+f[z,j']

        所以,要证f[i,j']+f[i'j]>=f[i,j]+f[i',j'],就要证f[z,j]+f[y,j']<=f[y,j]+f[z,j']。

        因为i<z≤y≤j,所以区间的长度会在不断地迭代中越变越小，最后归于前面的几种情况。

        情形2.1，i<y≤z≤j。证明过程略。

        综上所述，f[i,j]满足四边形不等式。

         事实上，对于任意f[I,j]=max{f[I,k]+f[k+1,j]+w[I,j]}{i<=k<j},如果w满足四边形不等式，那么f也满足四边形不等式。

         前面千辛万苦证明了f满足四边形不等式，那么它有什么用呢？

         之所以要证明四边形不等式，就是为了证明f满足决策单调性，即：

                        s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j],     i≤j

         其中，s[I,j]为区间[I,j]上的最优决策。

         当i=j时，单调性显然成立。因此下面只讨论i<j的情形。由于对称性，只要证明s[i,j]≤s[i,j+1]。

         令f_k[i,j]=f[i,k-1]+f[k,j]+w[i,j]。要证明s[i,j]≤s[i,j+1]，只要证明对于所有i<k≤k’≤j且f_k’[i,j]≤f_k[i,j]，有：f_k’[i,j+1]≤f_k[i,j+1]。

         事实上，我们可以证明一个更强的不等式

f_k[i,j]-f_k’[i,j]≤f_k[i,j+1]-fk_’[i,j+1]

         也就是：          f_k[i,j]+f_k’[i,j+1]≤f_k[i,j+1]+f_k’[i,j]

         利用递推定义式将其展开整理可得：f[k,j]+f[k’,j+1]≤f[k’,j]+f[k,j+1]，这正是k≤k’≤j<j+1时的四边形不等式。

         综上所述，当w满足四边形不等式时，函数s[i,j]具有单调性。

         因此，我们可以得到一个更优化的转移方程：

改进后的状态转移方程所需的计算时间为

上述方法利用四边形不等式推出最优决策的单调性，从而减少每个状态转移的状态数，降低算法的时间复杂度。

这样这道题就解决了。

一般的，对于状态转移方程形如：f[i , j] = opt{f[i , k] + f[k+1 , j]} + w[i , j], i < j的动规,若w满足四边形不等式,则f满足四边形不等式,则f有决策单调性。

BY QW

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