31、时间无关近似方法：微扰理论与变分法解析

时间无关近似方法：微扰理论与变分法解析

1. 二阶能量修正公式推导

在处理特定问题时，经过求和化简后，二阶能量修正公式可表示为：
[
E_n^{(2)} = \sum_{m\neq n} \frac{|\langle m|\hat{H}_1|n\rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}
]
以特定情况为例，最终可推导得出：
[
E_n^{(2)} = - \frac{e^2F^2}{2m\omega^2}
]

2. 简并微扰理论

2.1 简并问题的产生

当未受微扰的能级出现简并情况时，即一个未受微扰的本征值 (E_m^{(0)}) 对应两个或更多未受微扰的态矢 (|\psi_m^{(0)}\rangle) 和 (|\psi_{m’}^{(0)}\rangle) ，在相关方程求和过程中，会出现分母为零的问题。这是因为简并能级对应的本征函数不唯一。

2.2 处理方法

为解决简并问题，我们假设尽管部分未受微扰的态矢是简并的，但真实哈密顿量 (\hat{H}_0 + \lambda\hat{H}_1) 的本征态矢是非简并的，即“微扰消除简并”，不过很多情况下只是部分消除简并。

我们需要构造 (\hat{H} 0) 的简并态矢的线性组合，使其同时也是 (\hat{H}_1) 的本征态矢。设 (q) 个简并态矢 (|\psi_j^{(0)}\rangle) 的线性组合为：
[
|\varphi_i^{(0)}\rangle = \sum {j = 1}^{q} c_