4、基础波动力学：原理与方程解析

基础波动力学：原理与方程解析

1. 波动本质：概率的奥秘

在非相对论量子物理中，粒子被视为没有有限尺寸的点，无法进行诸如自旋等操作。那么，究竟是什么在波动呢？答案是在特定空间区域找到粒子的概率，更确切地说，是在某些物理可测量参数（如线性动量或角动量）的特定范围内找到粒子的概率。为了解决量子物理问题，我们需要求解代表这一概率的函数的合适运动方程，这一过程所涉及的力学被称为量子力学，也被称为波动力学。

2. 思想实验：电子衍射的启示

我们可以设想一个实验来同时展示概率的波动性和粒子的点状“结构”。以电子衍射实验为例，假设屏幕由受电子撞击会永久发光的磷光材料制成。当降低电子束强度时，我们能清晰看到每个电子撞击屏幕留下的亮点。第一个电子的落点无法确定，只能根据已知衍射图案知道其最可能的落点。随着电子数量增加，少量电子撞击屏幕形成的图案可能与已知衍射图案不同，但大量电子撞击后，屏幕会呈现出典型的衍射图案。这表明粒子始终保持点状，大量粒子才能展现出物质的波动性。

3. 波函数：概率分布的关键

获取概率分布的关键是波函数 $\varPsi (x, t)$，这里使用大写希腊字母表示包含时间的波函数，目前仅考虑一维情况 $x$。波函数不一定用坐标表示，也可以用其他变量（量子力学中称为可观测量）表示，但我们暂时只考虑坐标和时间。根据假设，$\varPsi (x, t)$ 包含了不确定性原理允许我们了解的关于粒子的所有信息。

若波函数已归一化，即满足 $\int_{-\infty}^{\infty} \varPsi^ (x, t) \varPsi (x, t) dx = 1$，则在时间 $t$ 时，粒子出现在区间 $dx$