7、数学系统、直接证明与反例

数学系统、直接证明与反例

1. 数学系统概述

数学系统由公理、定义和未定义术语组成。公理是被假定为真的陈述，定义用于依据现有概念创建新的概念，而有些术语没有明确的定义，而是由公理隐式定义。在数学系统中，我们可以推导出定理，定理是已被证明为真的命题。特殊类型的定理包括引理和推论，引理通常本身不太有趣，但对证明其他定理很有用；推论则是可以轻松从其他定理推导出来的定理。

1.1 欧几里得几何系统

• 公理 ：
  • 给定两个不同的点，有且仅有一条直线包含它们。
  • 给定一条直线和不在该直线上的一点，有且仅有一条直线通过该点且与给定直线平行。
• 未定义术语 ：点和线是未定义术语，它们的性质由上述公理隐式定义。
• 定义 ：
  • 如果两个三角形的顶点可以配对，使得对应边和对应角相等，则这两个三角形全等。
  • 如果两个角的度数之和为 180°，则这两个角互补。

1.2 实数系统

• 公理 ：
  • 对于所有实数 x 和 y，xy = yx。
  • 存在实数的一个子集 P，满足：
    • 如果 x 和 y 在 P 中，那么 x + y 和 xy 也在 P 中。