4、信号与系统特性分析

信号与系统特性分析

1. 信号分解

信号分解有一种更直接的推导方法。分解应从单位阶跃开始，在索引 (n = 0) 处产生值 (1)。由于 (x(n)) 在 (n = 1) 时增加到值 (2)，所以需添加延迟单位阶跃 (u(n - 1))。在 (n = 2) 时，(x(n)) 幅度又增加 (1)，再添加延迟单位阶跃 (u(n - 2))。此时，还需使 (n > 3) 时序列归零，可通过减去延迟单位阶跃 (3u(n - 3)) 实现。

2. 离散时间系统特性判断

2.1 齐次性、可加性与线性判断

对于不同系统，判断其齐次性、可加性和线性，规则如下：
- 齐次性 ：若系统满足 (y(n) = T[cx(n)] = cT[x(n)])，对于任意输入 (x(n)) 和所有复常数 (c) 成立，则系统具有齐次性。
- 可加性 ：若 (y_1(n)) 和 (y_2(n)) 分别是系统对输入 (x_1(n)) 和 (x_2(n)) 的响应，那么系统对 (x(n) = x_1(n) + x_2(n)) 的响应必须为 (y(n) = y_1(n) + y_2(n))，系统才具有可加性。
- 线性 ：系统同时具有齐次性和可加性，则为线性系统。

以下是一些系统的判断示例：
|系统表达式|齐次性|可加性|线性|
|----|----|----|----|
| (y(n) = \log(x(n))) | 否，因为 (T[cx(n)] = \log(cx(n)) \neq c\log(