6、量化命题问题求解与逻辑证明技巧

量化命题问题求解与逻辑证明技巧

1. 量化命题的问题提出

假设 ∀x∃y P(x, y) 为真，且论域非空。需要判断以下命题是否也为真，若为真则给出解释，若为假则给出反例：
- (a) ∀x∀y P(x, y)
- (b) ∃x∀y P(x, y)
- (c) ∃x∃y P(x, y)

2. 问题分析

2.1 对命题 (a) 的分析

已知 ∀x∃y P(x, y) 为真，意味着对于每个 x，至少存在一个 y 使得 P(x, y) 为真。而命题 (a) 表示对于每个 x 和每个 y，P(x, y) 都为真。从语义上看，仅仅因为对于每个 x 都有至少一个 y 使 P(x, y) 为真，并不能推出对于所有的 y 都有 P(x, y) 为真，所以我们怀疑 (a) 可能为假，需要找到一个反例。

2.2 对命题 (b) 的分析

将命题 (b) 与已知命题对比，发现全称量词 ∀ 和存在量词 ∃ 的位置发生了交换。已知命题 ∀x∃y P(x, y) 中，对于任意给定的 x，能找到一个可能依赖于 x 的 y 使得 P(x, y) 为真；而命题 (b) ∃x∀y P(x, y) 要求存在某个 x，对于所有的 y 都有 P(x, y) 为真。这两个命题有明显区别，我们怀疑 (b) 也可能为假，同样需要找到反例。

2.3 对命题 (c) 的分析

已知 ∀x∃y P(x, y) 为真，即对于每个 x，至少存在一个 y 使得 P(x, y) 为真。而命题 (c) ∃x∃y P(x, y) 要求存在某个 x 和某个 y 使得 P(x, y) 为真。由于论域非空，我们可以选取一个 x，根据已