5、嵌套量词：逻辑表达与真值判断

嵌套量词：逻辑表达与真值判断

1. 嵌套量词基础

在逻辑表达中，当涉及多个变量的陈述时，我们会用到嵌套量词。例如，对于“任意两个正实数的和是正数”这一陈述，我们需要两个变量 (x) 和 (y)。可以将其重述为：如果 (x > 0) 且 (y > 0)，那么 (x + y > 0)。由于该陈述针对任意两个正实数，所以需要两个全称量词。若用 (P(x, y)) 表示 ((x > 0) \land (y > 0) \to (x + y > 0))，则该陈述可符号化为 (\forall x \forall y P(x, y))。这里，两个变量的命题函数 (P) 的论域是 (R \times R)，意味着 (x) 和 (y) 都属于实数集。像 (\forall x \forall y) 这样的多个量词被称为嵌套量词。

下面通过几个例子来进一步理解嵌套量词的含义：
- 例 1.6.1 ：对于 (\forall m \exists n (m < n))，论域是 (Z \times Z)。可以将其重述为：对于每一个整数 (m)，都存在一个整数 (n) 使得 (m < n)。简单来说，就是不存在最大的整数。
- 例 1.6.2 ：“每个人都爱某个人”，设 (L(x, y)) 表示“(x) 爱 (y)”。“每个人”需要全称量化，“某个人”需要存在量化，所以该陈述可符号化为 (\forall x \exists y L(x, y))，即对于每一个人 (x)，都存在一个人 (y) 使得 (x) 爱 (y)。需要注意的是，(\exists x \forall y L(x, y)) 表