40、超网络科学：从多维网络到计算拓扑

超网络科学：从多维网络到计算拓扑

1. 复杂系统建模中的超图

在复杂系统研究中，图论一直是网络科学的数学基础。图 $G = \langle V, E \rangle$ 由顶点集 $V$ 和边集 $E$ 组成，其中边集 $E$ 是顶点集 $V$ 中所有无序顶点对的子集，每条边是一对不同的顶点。许多领域的系统，如生物学、社会学、电信和物理基础设施等，常可以用具有二元关系的实体集来表示，从而可以使用图论方法进行分析。

不过，图作为抽象的数学对象，只能表示实体之间的成对关系。而现实世界中的系统现象可能包含丰富的多路关系，涉及两个以上实体之间的相互作用、两个以上变量之间的依赖关系，或两个以上对象集合的属性。图本身无法直接表示群体交互，需要更复杂的数学对象或编码方案。而且，由于缺乏多维关系，在图中很难解决“社区交互”的问题。

超图则是一种能够自然表示网络中多路交互的数学对象。与图不同，在超图 $H = \langle V, E \rangle$ 中，顶点通常由超边族 $E$ 连接，其中超边 $e \in E$ 是 $V$ 的任意 $k$ 个顶点的子集，从而表示任意正整数 $k$ 的 $k$ 路关系。超图是广泛系统的自然表示，超图结构的数据（即超网络）无处不在，只要信息自然呈现为集值、表格或二分数据。

超图模型比图更复杂，但能更忠实地表示可能包含多路关系的数据。以文献计量学为例，展示了图和超图的区别：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| — | — | — | — | — | — |
| a | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| b | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| c | 0 | 1