37、离散网络动力学的效率与可预测性探究

离散网络动力学的效率与可预测性探究

在研究多智能体和网络物理系统时，网络动力学的效率与可预测性是重要的研究方向。我们聚焦于离散（布尔）网络的渐近动力学，尝试从计算角度定义效率和可预测性这两个概念。

基本概念与定义

• 布尔网络（Boolean Network） ：也称为布尔网络自动机（Boolean Network Automaton，简称 BNA），是一个有向或无向图，图中每个节点有 0 或 1 两种状态，且会根据其相邻节点（可能包括自身）的当前状态周期性更新自身状态。节点更新状态的函数称为局部更新函数或转换规则。不同节点可以使用不同的局部更新函数。其动态演化以离散时间步进行，若节点 $v_i$ 有 $k$ 个邻居 $v_{i1}, \cdots, v_{ik}$，则其下一个状态由布尔值函数 $f_i(v_{i1}, \cdots, v_{ik})$ 确定。
• 离散 Hopfield 网络（Discrete Hopfield Network，DHN） ：由 $n$ 个二进制值节点组成，每对节点 $(v_i, v_j)$ 有一个权重 $w_{ij}$，权重矩阵为 $W = [w_{ij}]_{i,j = 1 \cdots n}$，每个节点还有一个固定的实值阈值 $h_i$。节点 $v_i$ 从时间步 $t$ 到 $t + 1$ 根据线性阈值函数更新状态：
• $x_{i}^{t + 1} \leftarrow sgn(\sum_{j = 1}^{n} w_{ij} \cdot x_{j}^{t} - h_i)$
• 其中，为了打破平局，定义 $sgn(0