21、全局通信的渐近时间分析与超立方体通信操作

全局通信的渐近时间分析与超立方体通信操作

在并行计算中，全局通信操作的时间复杂度分析至关重要。本文将深入探讨对称网格和超立方体中的通信操作，包括总交换操作、单播、多播、散射操作和全交换操作，并分析它们的时间复杂度。

1. 对称网格上的总交换操作

对称网格上的总交换操作时间复杂度可以通过归纳法从低维网格的总交换操作推导得出。
- 一维情况 ：当 $d = 1$ 时，网格等同于线性阵列，总交换的时间复杂度为 $O(p^2)$。
- 归纳假设 ：假设在 $(d - 1)$ 维对称网格上的实现时间为 $O(p^{\frac{d}{d - 1}})$。
- $d$ 维情况 ：$d$ 维对称网格的总交换操作分两个阶段执行：
- 第一阶段 ：将 $d$ 维对称网格细分为 $d - 1$ 维的不相交网格，共得到 $\sqrt[d]{p}$ 个网格。在每个 $(d - 1)$ 维网格上并行执行总交换操作。由于每个 $(d - 1)$ 维网格有 $p^{\frac{d - 1}{d}}$ 个节点，每次总交换操作交换 $p^{\frac{d - 1}{d}}$ 条消息。每个 $(d - 1)$ 维网格需要交换 $p$ 条消息，因此需要执行 $p^{\frac{1}{d}}$ 次总交换操作。根据归纳假设，每次总交换操作需要时间 $O(p)$，所以第一阶段的时间为 $p^{\frac{1}{d}} \cdot O(p) = O(p^{\frac{d + 1}{d}})$。
- 第二阶段 ：