分组背包

分组背包

一、题目类型

题目描述

给定N组物品，其中第i组物品有$ num_i $个物品。第组的第j个物品的体积为 $ v_{ij} $，价值为。有一容积为的背包，要求选择若干个物品放入背包，使得每组至多选择一个物品并且物品总体积不超过V的前提下，物品的价值总和最大。

输入格式

第一行输入N, V，分别代表组N物品和背包容量V。
后面组物品数据，每组数据第一行一个$ num_i $，表示每组物品的数量，接着行，每行两个数 $num_i $ 和 $ p_{ij} $。

输出格式

1个数，每组至多选择一个物品并且物品总体积不超过V的前提下，物品的最大价值总和

二、分析

思路：

对于一组，有两种情况，选择本组某一件，与一件都不选；

划分：

背包容量为j时，背包获得的最大价值；

阶段：

dp[j]:背包容量为j时，背包获得的最大价值；

状态：

i:物品组号,1~n；
j:背包容量,v~0;
k:组内物品编号，1~sum[i];
状态转移方程：
$ dp[j] = \max{dp[j], dp[j - w[i][k]] + c[i][k]} (j >= w[i][k]) $

三、代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, v, num[105], w[105][105], c[105][105], dp[105];
int main() {
	scanf("%d %d", &n, &v);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &num[i]);
		for (int j = 1; j <= num[i]; j++) {
			scanf("%d %d", &w[i][j], &c[i][j]);
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = v; j >= 0; j--) {
			for (int k = 1; k <= num[i]; k++) {
				if (j >= w[i][k]) dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i][k]] + c[i][k]);
			}
		}
	}
	printf("%d", dp[v]);
	return 0;
}