Sieve of Eratosthenes（埃拉托斯特尼筛法）寻找素数

今天突然看书的时候涉及寻找素数的问题，学习了一下这个Sieve of Eratosthenes方法，点击就可以进入维基百科的页面，其中有一个动画来展示这个算法的运行步骤。这个方法可以用来求解不超过给定值n的所有素数。而且效率非常高，算法也很简单，我觉得很有趣，因此记录一下。

---

最初版本的素数筛查法的思想是，以最小的素数2开始，删除2的整数倍数的数字，这些数字都不是素数；接着寻找比2大的未被删除的最小数字，寻找其整数被的数字，去除；重复上述过程，最终剩下的数字就是素数。下面给出算法的思路：
1. 生成从2到n连续的列表；
2. 起初，让p等于2，2是最小的素数；
3. 从2p开始，依次将2p, 3p, 4p, …; 的数字标记为不是素数;
4. 寻找大于p且是素数的最小数字，将p取为这个数字，重复，第三步；如果没有，则停止，没有被标记的所有数字均为素数。

# -*- coding:utf-8 -*-
import numpy as np

n = 100
a = np.arange(2, n + 1)
is_prime = np.ones(len(a), dtype=bool)
for i in range(2, n + 1):
    if i in a[is_prime]:
        is_prime[(2 * i)::i] = False
print(a[is_prime])

这个算法的时间复杂度是$O(n\log n)$。

---

由于有:

定理：一个数如果不能被从2开始到自身开根号范围内的整数整除，则它是素数

因此算法可以优化，使得时间复杂度将为 $O(n\log \log n)$，代码如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
import numpy as np

n = 100
a = np.arange(2, n + 1)
n_max = int(np.sqrt(n))
is_prime = np.ones(len(a), dtype=bool)
for i in range(2, n_max):
    if i in a[is_prime]:
        is_prime[(i**2)::i] = False
print(a[is_prime])