向量内积与正交化：理论与实践-优快云博客

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本文详细介绍了向量的内积定义、长度计算及其性质，探讨了正交向量和正交向量组的概念，施密特正交化过程，并重点讲解了正交矩阵的定义及其关键性质。通过实例解析了正交矩阵在标准正交向量组中的应用。

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向量的内积
$α\alpha$ 和 $β\beta$ 的内积 $(α,β)(\alpha, \beta)$ 为对应元素相乘再相加。内积是一个数。

向量的长度(范数、模)
$∣∣α∣∣=(α,α)||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)}$

性质

正交(垂直)
$(α,β)=0,α⊥β(\alpha, \beta)=0, \alpha\perp\beta$
零向量和任何向量都正交。

正交向量组
不含零向量的正交向量组 $α1,...αn{\alpha_1,...\alpha_n}$ 中任意两个向量都正交。

标准正交向量组
如果正交向量组中每个向量都是单位向量，则这种向量组为标准正交向量组。

定理
如果 $α1,...αn{\alpha_1,...\alpha_n}$ 是正交向量组，则 $α1,...αn{\alpha_1,...\alpha_n}$ 一定是线性无关的。

施密特正交化
给定一组线性无关的 $α1,...,αn{\alpha_1,...,\alpha_n}$ ，求一组正交的 $β1,...,βn{\beta_1,...,\beta_n}$ ，使得两个向量组等价。

正交化：
$β1=α1\beta_1=\alpha_1$
$β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$
$β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2$
…
$1∣∣β1∣∣β1,1∣∣β2∣∣β2,...,1∣∣βn∣∣βn\frac{1}{||\beta_1||}\beta_1, \frac{1}{||\beta_2||}\beta_2,...,\frac{1}{||\beta_n||}\beta_n$

$α1,...,αn=正交化=>β1,...,βn=单位化=>η1,...,ηn{\alpha_1,...,\alpha_n}=正交化=>{\beta_1,...,\beta_n}=单位化=>{\eta_1,...,\eta_n}$

正交矩阵
假设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，如果 $A^TA=E$ ，那么A为正交矩阵。

性质

如果 $A$ 为正交矩阵，则 $∣ A ∣ = 1 o r - 1$ 。
如果 $A$ 为正交矩阵，则 $A^{-1}=A^{T}$ ，且 $A^{-1}$ 和 $A^{T}$ 均为正交矩阵。
若 $A$ ， $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，那么 $A B$ 也正交。
若 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵， $α\alpha$ 和 $β\beta$ 为n维列向量，那么 $(Aα,Aβ)=(α,β)(A\alpha,A\beta)=(\alpha, \beta)$ 。 $(Aα,Aβ)=(Aα)TAβ=αTATAβ=(α,β)(A\alpha,A\beta)=(A\alpha)^TA\beta=\alpha^TA^TA\beta=(\alpha, \beta)$ 。