矩阵与对角形相似(P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ)的条件
定理1
AAA 相似于对角形 Λ\LambdaΛ 的充要条件是 AAA 有 nnn 个线性无关的特征向量。
推论
如果 AAA 有 nnn 个互异的特征值,则 AAA 一定相似于对角形 Λ\LambdaΛ。其中 Λ\LambdaΛ 对角线为 AAA 的特征值。
定理2
A∼ΛA \sim \LambdaA∼Λ 的充分必要条件是对每一个 KKK 重的特征根的基础解系有 KKK 个解。
所有的实对称矩阵都能对角化!!!
实对称矩阵的对角化
nnn 阶实对称矩阵,它的 nnn 个特征值都是实数,并且它的特征向量都是实向量。
定理3
实对称矩阵 AAA 的不同特征值对应的特征向量一定正交。(对称:AT=AA^T=AAT=A)
正交相似
如果 AAA,BBB 为同阶的方阵,如果存在正交矩阵 PPP,使得 P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B,则 AAA 和 BBB 正交相似。
定理4
假设 AAA 是实对称矩阵,一定存在正交矩阵 QQQ 使得 Q−1AQ=ΛQ^{-1}AQ = \LambdaQ−1AQ=Λ。