实对称矩阵的对角化

本文探讨了实对称矩阵对角化的关键条件,包括特征向量的线性无关性、特征值的唯一性,以及不同特征值对应的特征向量正交性。此外,还介绍了正交相似的概念及其在对角化过程中的应用。

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矩阵与对角形相似(P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP1AP=Λ)的条件

定理1
AAA 相似于对角形 Λ\LambdaΛ 的充要条件是 AAAnnn 个线性无关的特征向量

推论
如果 AAAnnn 个互异的特征值,则 AAA 一定相似于对角形 Λ\LambdaΛ。其中 Λ\LambdaΛ 对角线为 AAA 的特征值。

定理2
A∼ΛA \sim \LambdaAΛ 的充分必要条件是对每一个 KKK 重的特征根的基础解系有 KKK 个解

所有的实对称矩阵都能对角化!!!

实对称矩阵的对角化

nnn 阶实对称矩阵,它的 nnn 个特征值都是实数,并且它的特征向量都是实向量。

定理3
实对称矩阵 AAA 的不同特征值对应的特征向量一定正交。(对称:AT=AA^T=AAT=A)

正交相似
如果 AAABBB 为同阶的方阵,如果存在正交矩阵 PPP,使得 P−1AP=BP^{-1}AP=BP1AP=B,则 AAABBB 正交相似。

定理4
假设 AAA 是实对称矩阵,一定存在正交矩阵 QQQ 使得 Q−1AQ=ΛQ^{-1}AQ = \LambdaQ1AQ=Λ

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