特征值和特征向量

特征值和特征向量

定义

假设 $A$ 为 $n$ 阶方阵(只有方阵才可以求特征值和特征向量)，若存在一个数 $\lambda$，若存在非零列向量 $\alpha$，使得 $$A\alpha =\lambda \alpha$$则 $\lambda$ 为一个特征值，$\alpha$ 为对应 $\lambda$ 的特征向量。其中 $\lambda$ 可以为 0，特征向量不能为 0。

注1：用矩阵乘以向量相当于对向量进行线性替换，该向量通过矩阵从原来的空间替换成另一个空间的向量，且等于原始向量的 $\lambda$ 倍。
注2：特征值一般可以单独出现，但是特征向量一定要给出它对应的特征值。

对上述公式进行变换可得 $(\lambda E-A)\alpha =0$，求非零列向量 $\alpha$，即求齐次线性方程组 $(\lambda E-A)x=0$ 的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零。

定义5.1.2：$\lambda E-A$ 为特征矩阵，$|\lambda E-A|$ 为行列式，化解后为特征多项式，$|\lambda E-A|=0$ 为特征方程，解出来方程的根为特征值 $\lambda$，也叫特征根。

结论

1. 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\alpha$ 为 $\lambda$ 对应的特征向量，若 $C$ 不等于 0，$C\alpha$ 也是 $\lambda$ 对应的特征向量。$A(C\alpha )=\lambda (C\alpha )$。所以对于 $\lambda$ 的特征向量不是唯一的，但是一个特征向量只能对应一个特征值。
2. 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是 $\lambda$ 的特征向量，则 $C_1{\alpha }_1+C_2{\alpha }_2$ 也是 $\lambda$ 的特征向量。$$A(C_1{\alpha }_1+C_2{\alpha }_2)=C_{1}A{\alpha }_1+C_{2}A{\alpha }_2=C_1\lambda {\alpha }_1+C_2\lambda {\alpha }_2=\lambda (C_1{\alpha }_1+C_2{\alpha }_2)$$

特征值和特征向量的基本性质

性质1
$A$ 和 $A^T$ 具有相同的特征值(行列式转置值不变)，但其特征向量不一定相同。
$$|\lambda E-A^T|=|\lambda E^T-A^T|=|(\lambda E-A{)}^T|=|\lambda E-A|$$

性质2
① 矩阵 $A$ 的每行元素绝对值之和小于 1，$\sum |a_{ij}|<1$，$i=1,...,n$；② 矩阵 $A$ 的每列元素绝对值之和小于 1，$\sum |a_{ij}|<1$，$j=1,...,n$；则所有特征值的模小于1，$|{\lambda }_k|<1$。

性质3
① 特征值之和为 $A$ 主对角元素之和。
$$\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=tr(A)=矩阵的迹$$
②特征值之积为 $A$ 的行列式。
$${\lambda }_1{\lambda }_2...{\lambda }_n=|A|$$
注3：若存在 ${\lambda }_i=0$，则 $|A|=0$，$A$ 不可逆。要想 $A$ 可逆，则其所有的特征根都不等于零。
注4：$A$ 可逆，则 $|A|\ne 0$；$A$ 的秩等于 $n$；行/列向量线性无关；$Ax=0$ 只有零解。

性质4
$n$ 阶方阵 $A$ 互不相同的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$ 对应的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ 线性无关。此处一个特征值对应一个特征向量。

性质5
${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=3$ 互不相同，且 ${\lambda }_1$ 的两个特征向量线性无关；${\lambda }_2$ 的三个特征向量线性无关；${\lambda }_3$ 的一个特征向量线性无关；则 ${\lambda }_1$ 到 ${\lambda }_6$ 的所有特征向量都线性无关。此处一个特征值对应多个特征向量。

性质6
$\lambda$ 是 $A$ 的特征多项式的 $K$ 重特征根，$A$ 对应的线性无关的特征向量最多为 $K$ 个。特别的，$\lambda$ 是 $A$ 的单根，那么对应的线性无关的特征向量仅有一个。注：$K$ 重特征根对应的线性无关的特征向量的个数小于等于 $K$。

其他性质

1. $K\lambda$ 是 $KA$ 的特征值。$(3A)\alpha =(3\lambda )\alpha$。
2. ${\lambda }^k$ 是 $A^k$ 的特征值。$A^2\alpha =\lambda A\alpha ={\lambda }^2\alpha$。
3. 假设多项式 $f(x)$，则 $f(\lambda )$ 是 $f(A)$ 特征值。$\lambda =2,f(A)=A^5+6A^2+A+3E=61$。
4. $A\alpha =\lambda \alpha$，$\frac{1}{\lambda }$ 是 $A^{-1}$ 的特征值。
5. $\frac{1}{\lambda }|A|$ 是 $A^{\ast }$ 的特征值。(注：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$)