POJ_1061 青蛙的约会（扩展欧几里德）

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

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Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

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Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

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Sample Input

1 2 3 4 5

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Sample Output

4
 

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题解：

这个是我第一次运用拓展欧几里德解题，一开始有一点懵比，后来想了想其实考查不仅仅是一个模板的问题

给定了 A，B青蛙的起点  X,Y 然后又给了每次跳m , n 格。一环长度为L。

所以有(设t为步数,k为L的一个倍数)

把带有变量的放在左边,常量的放在右边。

因为题目给定n,m,L,x,y所以可以把它看成常数项t，k为变量。形如ax+by=c

所以可以写成:

但是求出来的x,y是满足条件的一组解，但不是最小正整数解。

带入公式exgcd（n-m,L,x,y）得到了，满足ax+by=gcd(a,b)的一组解。

第一步：判断通解    c % gcd( a,b ) ==0 ?

第二步:  求出一组特解(满足ax+by=c)     x=x*( c/gcd(a,b) )

第三步：求出最小正整数解：t=abs(t), x=(x%t+t)%t

若对以上三步曲不熟悉的同学可以参考一下：传送门

 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<ctype.h>
typedef long long ll;
template <typename T>
void read( T & x){
    x=0;int f=1;char c=getchar();
    for( ; !isdigit(c);c=getchar()){if(c=='-') f=-1;}
    for( ;  isdigit(c);c=getchar()){x=x*10+c-'0';}x=x*f;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ll r=exgcd( b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;return r;
}
int main(){
    ll n,m,x,y,a,b,c,L,t,G,X,Y;
    // ( n - m )*x + ( L ) * y = ( X - Y )
    read(X),read(Y),read(m),read(n),read(L);
    a=n-m;
    b=L;
    c=X-Y;
    G=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%G||n==m){
        printf("Impossible\n");
    }else{
        t=c/G;
        x=x*t;          
        t=abs(L/G);
        x=(x%t+t)%t;
        printf("%lld\n",x);
    }
    return 0;
}