算法题day03

最新推荐文章于 2024-09-22 00:41:13 发布

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这篇博客探讨了如何解决斐波那契数列和青蛙跳台阶问题，两个经典的算法题。针对斐波那契数列，博主提出了循环求余的动态规划解决方案，并分析了时间与空间复杂度。在青蛙跳台阶问题中，提供了两种解法，包括动态规划和循环求余法。最后，还讨论了一个数组旋转的最小数字查找问题，通过二分法求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.斐波那契数列
写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
在这里插入图片描述
解：明显动态规划思想，但是这里采用循环求余法，能够更直观解答，
因为循环终止条件是i<n，所以需要返回的值为前一次的结果，即为a
时间复杂度 O(N)O(N) ：计算 f(n)f(n) 需循环 nn 次，每轮循环内计算操作使用 O(1)O(1) 。
空间复杂度 O(1)O(1) ：几个标志变量使用常数大小的额外空间。

class Solution {
    public int fib(int n) {
        int a = 0, b = 1, sum ;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            sum = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = sum;
        }
        return a;
    }
}

2.青蛙跳台阶问题
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
在这里插入图片描述
解法1：动态规划

/*动态规划：把问题转化为求斐波那契数列第 n 项的值
用纸写一下结果，就能找出规律，每种情况的答案是前面两种情况的答案之和。所以，这就是一个斐波那契数列
因此用动态规划的方法即可，代码如下 非常简单。*/
int numWays(int n){
    int dq[n+1];
    int i;
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i==0)
        dq[i]=1;
        else if(i==1)
        dq[i]=1;
        else
        dq[i]=((dq[i-1]+dq[i-2])%1000000007);
    }
    return dq[n];
}

解法2：循环求余法

class Solution {
    public int numWays(int n) {
        int a = 1,b = 1,sum;
        for(int i = 0;i<n ;i++){
            sum = (a+b)%1000000007;
            a = b;
            b = sum;
        }
        return a;
    }
}

3.旋转数组的最小数字
把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。
在这里插入图片描述
解：思路是通过二分法找到最小值

//算法流程：
//初始化： 声明 ii, jj 双指针分别指向 numsnums 数组左右两端；
//循环二分： 设 m = (i + j) / 2m=(i+j)/2 为每次二分的中点（ "/" 代表向下取整除法，因此恒有 i \leq m < ji≤m<j ），可分为以下三种情况：
//当 nums[m] > nums[j]nums[m]>nums[j] 时： m 一定在 左排序数组 中，即旋转点 xx 一定在 [m + 1, j][m+1,j] 闭区间内，因此执行 i = m + 1i=m+1；
//当 nums[m] < nums[j]nums[m]<nums[j] 时： mm 一定在 右排序数组 中，即旋转点 xx 一定在[i, m][i,m] 闭区间内，因此执行 j = mj=m；
//当 nums[m] = nums[j]nums[m]=nums[j] 时： 无法判断 mm 在哪个排序数组中，即无法判断旋转点 xx 在 [i, m][i,m] 还是 [m + 1, j][m+1,j] 区间中。解决方案： 执行 j = j - 1j=j−1 缩小判断范围。
//返回值： 当 i = ji=j 时跳出二分循环，并返回 旋转点的值 nums[i]nums[i] 即可。
class Solution {
    public int minArray(int[] numbers) {
        int i = 0, j = numbers.length - 1;
        while (i < j) {
            int m = (i + j) / 2;
            if (numbers[m] > numbers[j]) i = m + 1;
            else if (numbers[m] < numbers[j]) j = m;
            else j--;
        }
        return numbers[i];
    }
}