2117-数的划分 ZCMU

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#数论 #动态规划

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本文探讨了整数划分的问题，即一个正整数可以如何被划分为多个正整数之和的方法数量。提供了两种不同的算法实现，一种使用递归方法，另一种采用动态规划的方式，并附带详细的代码解释。

Description

一个正整数可以划分为多个正整数的和，比如n=3时：
3；1＋2；1＋1＋1；
共有三种划分方法。
给出一个正整数，问有多少种划分方法。

Input

一个正整数n，n<=100

Output

一个正整数，表示划分方案数

Sample Input

Sample Output

思路:看了别人的思路，就是m个球放n个箱子

代码：

#include<stdio.h>
long long num[105][105];
long long int deal(int n,int i)
{
    if(num[n][i]!=0)
        return num[n][i];
    if(i==1||i==n)
        return 1;
    if(n<i)
        return 0;
    return num[n][i]=deal(n-1,i-1)+deal(n-i,i);
}
int main()
{
    int n,i;
    long long sum;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        sum=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            sum+=deal(n,i);
        }
        printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
using namespace std;
int ans[105][105];//ans[i][j]表示将i分成j份；
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans[i][1]=1;//将i分成1份，有一种
        ans[1][i]=1;//将一分成i份 ，有一种
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            if (i<j)////当i<j时，因为此时最多分成i份，实际上相当于将i分成i份
                ans[i][j]=ans[i][i];
            else if(i==j) //当i==j时，分两种情况，一种是每份分1，只有一种分法;第二种至少有一份为0，此时相当于ans[i][j-1]
                ans[i][j]=ans[i][j-1]+1;
            else if (i>j)//当m>n时，也分两种情况，一种是至少有一份为0，相当于a[i][j-1];第二种，先将j分出来，然后将i-j再分成j份，此时相当于a
                ans[i][j]=ans[i-j][j]+ans[i][j-1];
        }
    }
    cout<<ans[n][n];
    return 0;
}