二分法求最大值最小化或最小值最大化问题

1.最小值最大化

例题：

题目描述

   农夫约翰建造了一座有n(2<=n<=100000)间牛舍的小屋，牛舍排在一条直线上，第i间牛舍在xi(0<=xi<=1000000000)的位置，但是约翰的m(2<=m<=n)头牛对小屋很不满意，因此经常互相攻击，约翰为了防止牛之间互相伤害，因此决定把每头牛都放在离其它牛尽量远的牛舍。也就是要最大化最近的两头牛之间的距离。

   牛并不喜欢这种布局，而且几头牛之间就放在一个隔间里，它们就要发生争斗。为了不让牛互相伤害，约翰决定自己给牛分配隔间，使任意两头牛之间的最小距离尽可能大，那么，这个最大的最小距离是多少呢？

输入格式

  第一行是用空格分隔的两个整数n,m

  第二行为n个用空格隔开的整数，表示位置xi

输出格式

  输出仅一个整数，表示最大的最小距离值

样例输入

 5 3

 1 2 8 4 9

样例输出

 3

样例解释

  把牛放在第1，4， 8 间，这样最小的距离值是3

思路
  设C(d)表示可以安排牛的位置，并使得最近的两头牛的距离不小于d。

  那么问题就转化为求满足C(d)的最大的d，另外，最近的间距不小于d也可以看成是所有牛的间距都不小于d，因此就可以用C(d)表示可以安排牛的位置，并使得最近的两头牛的间距不小d

对这个问题，使用贪心可以容易求解:

  1.对牛舍的位置x进行排序

  2.把第一头牛放入牛舍x0

  3.如果第i头牛放入了xj间牛舍，则第i+1头牛就要放入满足xj+1<=xk的最小牛舍xk中。

参考代码

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m,x[N];
int check(int d)
{
   int cow=1,dis=x[1]+d;
   for(int i=2;i<=n;i++)
   {
       if(x[i]<dis) continue; //若x[i]<dis，说明该牛舍与前一个牛舍的距离小于最小距离值d
       cow++; dis=x[i]+d;
   }
   return  cow>=m;
}
int main()
{
    int i;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x[i]);
        }
        sort(x+1,x+n+1);
        int left=0,right=x[n]-x[1],mid;
        while(left<=right)
        {
            mid=(left+right)>>1; //mid为试图找到的最大的最小距离值
            if(check(mid))
                left=mid+1;
            else
                right=mid-1;
        }
        printf("%d\n",right);
    }
    return 0;
}

2.最大值最小化

例题：

问题描述

把一个包含n个正整数的序列划分成m个连续的子序列。设第i个序列的各数之和为S(i)，求所有S(i)的最大值最小是多少？

例如序列1 2 3 2 5 4划分为3个子序列的最优方案为 1 2 3 | 2 5 | 4，其中S(1),S(2),S(3)分别为6，7，4，那么最大值为7；

如果划分为 1 2 | 3 2 | 5 4，则最大值为9，不是最小。

输入格式

  第一行是用空格分隔的两个整数n,m

  第二行为n个用空格隔开的整数，表示序列中的数

输出格式

  输出仅一个整数，表示S(i)最大的最小值

样例输入

 6 3

 1 2 3 2 5 4

样例输出

 7

算法思路

要解决最大值最小化的问题，基本思路就是选取任意一个范围（输入数组的最大值到数组所有元素的和），然后在这个范围内进行二分法，每次把和范围的中间值mid当作最小值，然后判断在mid值下数组是否能够被分为m个部分

参考代码

#include<stdio.h>
#define MAX 10005
int n,m,a[MAX];
bool judge(int key)
{
    int sum=0,count=0,i;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        sum+=a[i];
        if(sum>key)
        {
            sum=a[i];
            count++;
        }
    }
    if(count+1<=m)
       return 1;
    return 0;
}
void binary(int left,int right)
{
    while(left<right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(judge(mid))
          right=mid;
        else
          left=mid+1;
    }
    printf("%d\n",left);
}
int main()
{
    int i;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        int left=0,right=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            right+=a[i];
            if(a[i]>left)
              left=a[i];
        }
        binary(left,right);
    }
    return 0;
}