[DP] Luogu1586 四方定理_将 nn 拆成 44 个非负整数的平方和。-优快云博客

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本文介绍了一道经典的数学编程问题——四方定理的应用。该定理指出任何一个正整数都可以表示为最多四个整数的平方和。文章提供了两种解决方案：动态规划（DP）和暴力枚举，并附带了完整的C++代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

四方定理是众所周知的：任意一个正整数 $n$ ，可以分解为不超过四个整数的平方和。例如： $25=1^{2}+2^{2}+2^{2}+4^{2}$ ，当然还有其他的分解方案， $25=4^{2}+3^{2}$ 和 $25=5^{2}$ 。给定的正整数 $n$ ，编程统计它能分解的方案总数。注意： $25=4^{2}+3^{2}$ 和 $25=3^{2}+4^{2}$ 视为一种方案。

输入输出格式

输入格式：

第一行为正整数 $t$ ( $t\le 100$ )，接下来 $t$ 行，每行一个正整数 $n$ ( $n\le 32768$ )。

输出格式：

对于每个正整数 $n$ ，输出方案总数。

输入输出样例

输入样例#1：

1
2003

输出样例#1：

【大意】求把一个数分成1或2或3或4个数的平方和的方法总数.

【解法1】DP

用F[i][j]表示把i分成j个数平方和的方法总数

边界 F[0][0] = 1;

动态转移方程 F[i][j] = ΣF[i-k*k][j-1];

解就是F[N][1]+F[N][2]+F[N][3]+F[N][4];

这题应预处理后再查询.

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int F[40001][5];
int N;

int main() {
	int T, n;
	N = 32769;
	scanf("%d", &T);
	memset(F, 0, sizeof(F));
	F[0][0] = 1;
	for(int k=1; k*k <= N; k++) //k应在外循环 避免重复
		for(int i=k*k; i<=N; i++)
			for(int j=1; j<=4; j++)
				F[i][j] += F[i-k*k][j-1];
	while(T --) {
		scanf("%d", &N);
		printf("%d\n", F[N][1] + F[N][2] + F[N][3] + F[N][4]);
	}
	return 0;
}

【解法2】暴力

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int F[40001];
int N;

int main() {
	int T;
	scanf("%d", &T);
	N = sqrt(32769) + 1; 
	for(int i=1; i<=N; i++) {
		F[i * i] ++;
		for(int j=i; j<=N && i*i+j*j <= N*N; j++) {
			F[i * i + j * j] ++;
			for(int k=j; k<=N && i*i+j*j+k*k <= N*N; k++) {
				F[i*i+j*j+k*k] ++;
				for(int l=k; l<=N && i*i+j*j+k*k+l*l <= N*N; l++) {
					F[i*i+j*j+k*k+l*l] ++;
				}
			}
		}
	}
	while(T --) {
		scanf("%d", &N);
		printf("%d\n", F[N]);
	}
	return 0;
}