（Prufer序列）牛客挑战赛48C.铬合金之声

牛客挑战赛48C.铬合金之声

思路：

首先由题很显然的一个结论就是，这是由$n$个点构成的有$n-m$棵无根树的森林。
考虑权值的计算。假设第$i$棵树的大小为$s_i$,权值就为$\prod _{i=1}^{n-m}{s}_i$。但是这样的话，又要考虑乘上方案数，并且每种方案都需要分开考虑。很巧妙的一步就是，将无根树转换为有根树，因为有根树的方案数就等于无根树的方案数乘上结点数，恰好是我们需要的贡献。
所以转换成了求$n$个点构成$n-m$棵有根树的方案数。
这一步也很巧妙。我们设一个虚根$0$，令其度数为$n-m$。通过Prufer序列的定义，我们可以发现$0$会在长度为$n-1$的序列种出现$n-m-1$次，所以它的方案数为$\left(\begin{array}{c}n-1\\ n-m-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n-1\\ m\end{array}\right)$。剩下的$m$个位置中，每个位置都可以从$1,2,\cdots ,n$中任选一个数，所以方案数为$n^m$。通过乘法原理，总的方案数为$\left(\begin{array}{c}n-1\\ m\end{array}\right)n^m$。
$\left(\begin{array}{c}n-1\\ m\end{array}\right)=\frac{(n-1)!}{m!(n-1-m)!}$,但是$n$比较大，线性计算会T。所以稍微转换一下$\left(\begin{array}{c}n-1\\ m\end{array}\right)=\frac{(n-1{)}^{\underline{m}}}{m!}$。
公式的说明：
$$x^{\underline{n}}=\{\begin{array}{ll}1& n=0\\ x(x-1{)}^{\underline{n-1}}& n\ge 1\end{array}$$
这样就可以在$O(m)$的时间内求出答案了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define int long long
#define cl(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define loop(x,y,z) for(x=y;x<=z;x++)
#define reve(x,y,z)	for(x=y;x>=z;x--)
#define ct cerr<<"Time elapsed:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<"s.\n";
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define lson x<<1,l,mid
#define rson x<<1|1,mid+1,r
#define INF 1e18
const int N=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1);
using namespace std;
int qpow(int a,int b)
{
	a%=mod;
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int n,m,i;
	cin>>n>>m;
	int ans=1,tot=1;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		ans=ans*(n-i)%mod;
		tot=tot*(m-i+1)%mod;
	}
	ans=ans*qpow(tot,mod-2)%mod*qpow(n,m)%mod;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}