树/图连通方案数

1、通过Cayley定理，可以得到$n$个结点的无根树个数为$n^{n-2}$,证明参考Purfer序列。
2、那么一棵结点数为$n$的有根树，就是在无根树的基础上面选定一个根，那么就是$n^{n-1}$种。
3、如果考虑连边顺序的不同，就相当于乘上连边的全排列数量$A_{n-1}^{n-1}=(n-1)!$。即无根树为$(n-1)!n^{n-2}$，有根树$(n-1)!n^{n-1}$。
4、$n$个结点，每个结点度数为$d_i$的树。首先满足$\sum _{i=1}^n(d_i-1)=n-2,d_i\ne 0$。由Purfer序列的性质可以得到，度数为$d_i$的结点会在Purfer序列中出现$d_i-1$次。
所以相当于长度为$n$满足每个数数量为$d_i-1$的排列个数，即为$\left(\begin{array}{c}n-2\\ d_1-1,d_2-1,\cdots ,d_n-1\end{array}\right)=\frac{(n-2)!}{\prod _{i=1}^n(d_i-1)!}$。
5、对于$n$个点，$m$条边的无向图，有$k$个连通块，连$k-1$条边使图连通的方案数。设第$i$个连通块大小为$nu{m}_i$。答案为$n^{k-2}\prod _{i=1}^{k}nu{m}_i$。
两种方法得到：
（1）
需要使图连通，可以把连通块看成一个点，转换成构成树。那么就需要连$k-1$条边，由Prufer序列，选择$1\sim n$中的任何一个数都可以，所以方案数为：
$$n^{k-2}$$
又因为Prufer序列，对于每个连通块，都有$nu{m}_i$种选择和父亲连接，所以根据乘法原理，最终答案为：
$$n^{k-2}\prod _{i=1}^{k}nu{m}_i$$
（2）
首先我们可以将连通块看成一个点，那么就是对这些连通块连$k-1$条边使他们连通。假设这些连通块的度数（边数）为$d_i$,那么连通的方案数就是：
$$\left(\begin{array}{c}k-2\\ d_1-1,d_2-1,\cdots ,d_k-1\end{array}\right)=\frac{(n-2)!}{\prod _{i=1}^n(d_i-1)!}$$
又因为每个连通块有$nu{m}_i$个点，每条边的选择就有$nu{m}_i$个，所以对于每个连通块都会有$nu{m}_i^{d_i}$种连接方式，所以一种Prufer序列总共有：
$$\left(\begin{array}{c}k-2\\ d_1-1,d_2-1,\cdots ,d_k-1\end{array}\right)\prod _{i=1}^{k}nu{m}_i^{d_i}$$
计算了一种之后，我们考虑所有的Prufer序列有多少种，由性质可以知道，Prufer序列应该满足$d_i-1\ge 0,\sum _{i=1}^k{d}_i-1=k-2$。所以一共有:
$$\sum _{d_i-1\ge 0,\sum _{i=1}^k{d}_i-1=k-2}\left(\begin{array}{c}k-2\\ d_1-1,d_2-1,\cdots ,d_k-1\end{array}\right)\prod _{i=1}^{k}nu{m}_i^{d_i}$$
考虑化简，我们通过二项式定理：
$$(x_1+x_2+\cdots +x_t{)}^n=\sum _{k_i\ge 0,\sum _{i=1}^t{k}_i=n}\left(\begin{array}{c}n\\ k_1,k_2,\cdots ,k_t\end{array}\right)\prod _{i=1}^t{x}_i^{k_i}$$
这样一看式子是不是很像？可以化简为：
$$(nu{m}_1+nu{m}_2+\cdots +nu{m}_k{)}^{k-2}\prod _{i=1}^{k}nu{m}_i$$
又因为$\sum _{i=1}^{k}nu{m}_i=n$,所以最后得到：
$$n^{k-2}\prod _{i=1}^{k}nu{m}_i$$