（质因数分解+二分图）LightOJ1356Prime Independence

LightOJ1356Prime Independence

题意：

给你$n$个数，你选出最多的一个集合满足不存在其中任意两数$a,b$满足$a=k\times b,k$是一个质数。

思路：

最大独立点集$=n-$二分图最大匹配数。
我们可以通过唯一分解定理判断数字$x$的因子个数，可以知道如果因子个数同为奇数或者偶数，那么它们肯定不可能匹配。所以按照因数个数的奇偶将图分成二分图，进行连边。注意我们在判断两个数之间是否需要连边的时候，应该是记录一个数的因子进行除法判断得到的数是否存在，降低复杂度。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define cl(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define ct cerr<<"Time elapsed:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<"s.\n";
const int N=1e6+210;
const int M=4e4+210;
const int mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int minn=0xc0c0c0c0;
using namespace std;
struct edge
{
	int u,v,w;
}e[N<<1];
int len=1,head[M]={0};
int dep[M];//深度 
void add(int u,int v,int w)
{
	e[++len]={head[u],v,w};
	head[u]=len;
}
void inc(int u,int v,int w)
{
	add(u,v,w);
	add(v,u,0);
} 
int dfs(int u,int f,int t)
{
	int ans=0,i;
	if(u==t)
		return f;
	for(i=head[u];i && f;i=e[i].u)
	{
		int v=e[i].v,w=e[i].w;
		if(dep[v]==dep[u]+1 && w)//符合深度关系且能流 
		{
			int sum=dfs(v,min(f,w),t);
			e[i].w-=sum;
			e[i^1].w+=sum;
			f-=sum;
			ans+=sum;
		}	
	}
	if(!ans)
		dep[u]=-2;
	return ans;
}
int bfs(int s,int t)
{
	queue<int> q;
	int i;
	for(i=s;i<=t;i++)
		dep[i]=0;
	dep[s]=1;//源点深度为1
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front(),i;
		q.pop();
		for(i=head[u];i;i=e[i].u)
		{
			int v=e[i].v,w=e[i].w;
			if(w && !dep[v])//有深度且能流 
			{
				dep[v]=dep[u]+1;
				q.push(v); 
			}
		}
	}
	return dep[t];
}
int dinic(int s,int t)
{
	int ans=0;
	while(bfs(s,t))
		ans+=dfs(s,inf,t);
	return ans;
}
const int MAX=5e5+5;
const int MAXN=5e5+10;
bool ok[N];
int prim[N];
int pos=0;
void init()
{
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(ok[i]==0)
            prim[++pos]=i;
        for(int j=1;j<=pos;j++)
        {
            if(i*prim[j]>MAXN)
                break;//已经超出了你要判断的范围
            ok[i*prim[j]]=1;//prim[j]是素数，那么他的倍数必定是合数
            if(i%prim[j]==0)
                break;//i是某个素数的倍数，之前已经判断过了，所以直接跳出
        }
    }
}
int a[M];
int main()
{
	int T,cas=1;
	scanf("%d",&T);
	init();
	while(T--)
	{
		int n,i,j;
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		//cl(p,0);
		map<int,int> p;
		for(i=1;i<=n;i++)
			p[a[i]]=i;
		int s=0,t=n+1;
		len=1;
		for(i=s;i<=t;i++)
			head[i]=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			int x=a[i],tot=0;
			int pr[1100],cnt=0;
			for(j=1;prim[j]*prim[j]<=x;j++)
			{
				if(x%prim[j]==0)
				{
					pr[++cnt]=prim[j];
					while(x%prim[j]==0)
					{
						x/=prim[j];
						tot++;
					}
				}
				
			}
			if(x>1)
			{
				tot++;
				pr[++cnt]=x;
			}		
			if(tot&1)
				inc(s,i,1);
			else
				inc(i,t,1);
			for(j=1;j<=cnt;j++)
			{
				int w=a[i]/pr[j];
				if(p[w])
					if(tot&1)
						inc(i,p[w],1);
					else
						inc(p[w],i,1);
			}		
		}
		printf("Case %d: %d\n",cas++,n-dinic(s,t));
	}
	return 0;
}