装箱问题(动态规划)

ALGO-21 装箱问题

问题描述:有一个箱子容量为V(正整数,0<=V<=20000),同时有n个物品(0<n<=30),每个物品有一个体积(正整数)。
  要求n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
【输入形式】
第一行为一个整数,表示箱子容量;
  第二行为一个整数,表示有n个物品;
  接下来n行,每行一个整数表示这n个物品的各自体积。
【输出形式】
一个整数,表示箱子剩余空间。
【样例输入】
24
6
8
3
12
7
9
7

【样例输出】

0

分析:这道题很显然是动态规划里面的01背包问题,由于输出只要求打印出他的最小剩余,那么通过动态规划找到它的最优解即可。本题可以看做是每个箱子的消耗容量和他的价值一样。所以,C语言代码如下:

#include <stdio.h>
int main(void)
{
	int v;
	int i,j;
	scanf("%d",&v);
	int n;
	scanf("%d",&n); 
	int weight[n];
	int dp[n+1][v+1];
	memset(weight,0,sizeof(weight));
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%d",&weight[i]);
	}
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		for(j=1; j<=v; j++)
		{
			if(j<weight[i])
			{
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			}
			else
			{
				dp[i][j] = dp[i-1][j] > dp[i-1][j-weight[i]]+weight[i] ? dp[i-1][j] : dp[i-1][j-weight[i]]+weight[i];
			}
		}
	}
	printf("%d",v-dp[i-1][j-1]);
 } 

在这里插入图片描述

### 使用动态规划解决装箱问题 #### 动态规划的核心思想 动态规划(Dynamic Programming, DP)是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。对于装箱问题,目标是在给定容量的容器中放置若干物品,使得总价值最大化或者剩余空间最小化。 在本场景下,假设有一个固定大小的箱子 \( V \),以及 \( n \) 件物品,每件物品有对应的体积 \( v_i \) 和可能的价值 \( w_i \)[^2]。如果仅考虑体积而不涉及价值,则可以将其视为一种特殊的 **0/1 背包问题**。 以下是基于 C++ 实现的一个典型例子: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int V, n; cin >> V; // 容器的最大容量 cin >> n; // 物品的数量 int v[n + 1]; // 存储每个物品的体积 for (int i = 1; i <= n; ++i) { cin >> v[i]; } int dp[V + 1]; // 创建数组用于存储状态转移方程的结果 fill(dp, dp + V + 1, 0); // 初始化所有位置为零 // 遍历每一个物品 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 倒序遍历容器容量 for (int j = V; j >= v[i]; --j) { dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + v[i]); } } cout << V - dp[V] << endl; // 输出剩余未使用的空间 return 0; } ``` #### 代码解释 上述程序实现了经典的 **一维动态规划方法** 来解决装箱问题。具体逻辑如下: - 数组 `dp` 表示当前状态下不同容量下的最优解。 - 外层循环依次处理每个物品;内层循环则从大到小更新状态,防止重复计算同一物品多次放入的情况[^4]。 - 对于任意容量 \( j \geq v_i \),尝试决定是否加入第 \( i \) 个物品: 如果不放此物,则保持原有值 \( dp[j] \); 若选择放入,则新的最大填充量变为 \( dp[j - v_i] + v_i \)。 - 最终结果由差值 \( V - dp[V] \) 得出,即容器剩余可用空间。 这种策略适用于单维度约束条件的情形,比如只关注总体积而忽略其他属性时非常有效。 --- ### 扩展至多维情况 当面对更复杂的三维装箱问题时,除了单纯考虑物体占据的空间外,还需要兼顾高度、宽度等多个因素共同作用的影响。此时可采用更高阶的技术手段如遗传算法或模拟退火来近似找到全局最优解[^1]。不过这些高级技术超出了基础动态规划范畴,在实际编码过程中往往更加繁琐且耗时较长。 ---
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